help méedddđ

Câu 26. a) Trọng tâm tam giác ABC là $G(-\frac13;\frac43;-\frac43).$ Ta có: \[ G = \left( \frac{1 + 0 - 2}{3}, \frac{2 + 1 + 1}{3}, \frac{-3 + 2 - 3}{3} \right) = \left( -\frac{1}{3}, \frac{4}{3}, -\frac{4}{3} \right) \] Vậy mệnh đề này Đúng. b) Một vectơ chỉ phương của đường thẳng BC là $\overrightarrow{BC}(2;0;-5).$ Ta có: \[ \overrightarrow{BC} = (-2 - 0, 1 - 1, -3 - 2) = (-2, 0, -5) \] Vậy mệnh đề này Sai vì $\overrightarrow{BC} = (-2, 0, -5)$ chứ không phải $(2, 0, -5)$. c) Phương trình đường thẳng qua C và song song với AB là \[ \frac{x+2}{-1} = \frac{y-1}{-1} = \frac{z+3}{5}. \] Ta có: \[ \overrightarrow{AB} = (0 - 1, 1 - 2, 2 + 3) = (-1, -1, 5) \] Phương trình đường thẳng qua C và song song với AB là: \[ \frac{x + 2}{-1} = \frac{y - 1}{-1} = \frac{z + 3}{5} \] Vậy mệnh đề này Đúng. d) Phương trình đường trung tuyến AM của tam giác ABC là \[ \left\{ \begin{array}{l} x = -3 + 4t \\ y = 2t \\ z = 2 - 5t \end{array} \right. (t \in \mathbb{R}) \] Trước hết, ta tìm trung điểm M của đoạn thẳng BC: \[ M = \left( \frac{0 - 2}{2}, \frac{1 + 1}{2}, \frac{2 - 3}{2} \right) = \left( -1, 1, -\frac{1}{2} \right) \] Vectơ chỉ phương của đường thẳng AM là: \[ \overrightarrow{AM} = (-1 - 1, 1 - 2, -\frac{1}{2} + 3) = (-2, -1, \frac{5}{2}) \] Phương trình đường thẳng AM là: \[ \left\{ \begin{array}{l} x = 1 - 2t \\ y = 2 - t \\ z = -3 + \frac{5}{2}t \end{array} \right. (t \in \mathbb{R}) \] Vậy mệnh đề này Sai vì phương trình đường thẳng AM không đúng. Kết luận: - Mệnh đề a) Đúng. - Mệnh đề b) Sai. - Mệnh đề c) Đúng. - Mệnh đề d) Sai. Câu 27. a) Một vectơ chỉ phương của đường thẳng d là $(-3;2;1).$ Đúng vì đường thẳng d có vectơ chỉ phương là $(1;-3;2)$ nên $(-3;2;1)$ cũng là vectơ chỉ phương của đường thẳng d. b) Đường thẳng d đi qua điểm $(-5;8;-3).$ Thay tọa độ điểm $(-5;8;-3)$ vào phương trình đường thẳng d ta có: $\frac{-5+3}{1} = \frac{8-2}{-3} = \frac{-3-1}{2}$ $\Rightarrow \frac{-2}{1} = \frac{6}{-3} = \frac{-4}{2}$ $\Rightarrow -2 = -2 = -2$ Vậy đường thẳng d đi qua điểm $(-5;8;-3).$ c) Phương trình đường thẳng qua A và song song với d là $\frac{x+1}{1} = \frac{y}{-3} = \frac{z-2}{2}$. Sai vì phương trình đường thẳng qua A và song song với d là $\frac{x-1}{1} = \frac{y}{-3} = \frac{z+2}{2}$. d) Phương trình mặt phẳng qua A và vuông góc với d là $(P):~x-3y+2z+5=0$. Đúng vì mặt phẳng qua A và vuông góc với d có vectơ pháp tuyến là $(1;-3;2)$ (vectơ chỉ phương của đường thẳng d). Phương trình mặt phẳng có dạng: $(x-1) - 3(y-0) + 2(z+2) = 0$ $\Rightarrow x - 1 - 3y + 2z + 4 = 0$ $\Rightarrow x - 3y + 2z + 3 = 0$ Vậy phương trình mặt phẳng qua A và vuông góc với d là $(P):~x-3y+2z+3=0$. Đáp án: a) Đúng, b) Đúng, c) Sai, d) Đúng. Câu 28. Để giải quyết các mệnh đề trên, chúng ta sẽ kiểm tra từng mệnh đề một. Mệnh đề a) Một vectơ chỉ phương của đường thẳng d là $(\alpha)$. Để kiểm tra mệnh đề này, chúng ta cần biết phương trình của đường thẳng d. Tuy nhiên, trong đề bài không cung cấp phương trình của đường thẳng d. Do đó, chúng ta không thể xác định một vectơ chỉ phương của đường thẳng d. Mệnh đề này chưa đủ thông tin để xác định, do đó chúng ta sẽ đánh dấu là "Sai". Mệnh đề b) Phương trình mặt phẳng qua A và vuông góc với d là $2x + y + 3z - 3 = 0$. Để kiểm tra mệnh đề này, chúng ta cần biết vectơ pháp tuyến của mặt phẳng. Mặt phẳng qua điểm A(1, 1, -2) và vuông góc với đường thẳng d có vectơ chỉ phương là $(\alpha)$. Nếu vectơ pháp tuyến của mặt phẳng là $(2, 1, 3)$, thì phương trình mặt phẳng sẽ là: \[ 2(x - 1) + 1(y - 1) + 3(z + 2) = 0 \] \[ 2x - 2 + y - 1 + 3z + 6 = 0 \] \[ 2x + y + 3z + 3 = 0 \] Nhưng phương trình đã cho là $2x + y + 3z - 3 = 0$, do đó mệnh đề này là "Sai". Mệnh đề c) Đường thẳng a đi qua A và vuông góc với (P) có phương trình là $\frac{x-2}{-1} = \frac{y}{1} = \frac{z+3}{1}$. Để kiểm tra mệnh đề này, chúng ta cần biết vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P). Mặt phẳng (P) có phương trình $x - y - z - 1 = 0$, nên vectơ pháp tuyến của nó là $(1, -1, -1)$. Đường thẳng a đi qua điểm A(1, 1, -2) và vuông góc với mặt phẳng (P), tức là có vectơ chỉ phương là $(1, -1, -1)$. Phương trình đường thẳng a sẽ là: \[ \frac{x - 1}{1} = \frac{y - 1}{-1} = \frac{z + 2}{-1} \] Nhưng phương trình đã cho là $\frac{x-2}{-1} = \frac{y}{1} = \frac{z+3}{1}$, do đó mệnh đề này là "Sai". Mệnh đề d) Đường thẳng $\Delta$ đi qua A song song với mặt phẳng (P) và vuông góc với đường thẳng d có phương trình là $\frac{x-1}{2} = \frac{y-1}{5} = \frac{z+2}{-3}$. Để kiểm tra mệnh đề này, chúng ta cần biết vectơ chỉ phương của đường thẳng d. Tuy nhiên, trong đề bài không cung cấp phương trình của đường thẳng d. Do đó, chúng ta không thể xác định vectơ chỉ phương của đường thẳng d. Mệnh đề này chưa đủ thông tin để xác định, do đó chúng ta sẽ đánh dấu là "Sai". Tóm lại, các mệnh đề đều là "Sai" vì thiếu thông tin hoặc không thỏa mãn điều kiện đã cho. Đáp án: a) Sai, b) Sai, c) Sai, d) Sai. Câu 29. Để giải quyết các mệnh đề về tính đúng sai của các thông tin liên quan đến điểm A và hai đường thẳng \(d_1\) và \(d_2\), chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: Bước 1: Xác định phương hướng của các đường thẳng Đường thẳng \(d_1\): Phương trình tham số của \(d_1\) là: \[ \frac{x}{2} = \frac{y + 1}{-1} = \frac{z - 1}{-1} = t \] Từ đó ta có: \[ x = 2t, \quad y = -t - 1, \quad z = -t + 1 \] Phương hướng của \(d_1\) là \(\vec{u}_1 = (2, -1, -1)\). Đường thẳng \(d_2\): Phương trình tham số của \(d_2\) là: \[ \frac{x + 1}{4} = \frac{y}{4} = \frac{z + 2}{1} = s \] Từ đó ta có: \[ x = 4s - 1, \quad y = 4s, \quad z = s - 2 \] Phương hướng của \(d_2\) là \(\vec{u}_2 = (4, 4, 1)\). Bước 2: Kiểm tra xem điểm A có nằm trên các đường thẳng hay không Kiểm tra điểm A trên \(d_1\): Thay \(x = 0\), \(y = -1\), \(z = 0\) vào phương trình tham số của \(d_1\): \[ 0 = 2t, \quad -1 = -t - 1, \quad 0 = -t + 1 \] Giải các phương trình này: \[ t = 0, \quad t = 0, \quad t = 1 \] Nhận thấy rằng \(t\) không đồng nhất, do đó điểm A không nằm trên \(d_1\). Kiểm tra điểm A trên \(d_2\): Thay \(x = 0\), \(y = -1\), \(z = 0\) vào phương trình tham số của \(d_2\): \[ 0 = 4s - 1, \quad -1 = 4s, \quad 0 = s - 2 \] Giải các phương trình này: \[ s = \frac{1}{4}, \quad s = -\frac{1}{4}, \quad s = 2 \] Nhận thấy rằng \(s\) không đồng nhất, do đó điểm A không nằm trên \(d_2\). Bước 3: Kiểm tra vị trí tương đối giữa các đường thẳng Kiểm tra song song: Hai đường thẳng song song nếu vectơ phương hướng của chúng tỉ lệ với nhau: \[ \vec{u}_1 = k \cdot \vec{u}_2 \] \[ (2, -1, -1) = k \cdot (4, 4, 1) \] Từ đó ta có: \[ 2 = 4k, \quad -1 = 4k, \quad -1 = k \] Giải các phương trình này: \[ k = \frac{1}{2}, \quad k = -\frac{1}{4}, \quad k = -1 \] Nhận thấy rằng \(k\) không đồng nhất, do đó hai đường thẳng không song song. Kiểm tra chéo: Hai đường thẳng chéo nếu chúng không song song và không cắt nhau. Ta kiểm tra xem có tồn tại \(t\) và \(s\) sao cho: \[ (2t, -t - 1, -t + 1) = (4s - 1, 4s, s - 2) \] Từ đó ta có: \[ 2t = 4s - 1, \quad -t - 1 = 4s, \quad -t + 1 = s - 2 \] Giải hệ phương trình này: \[ t = 2s - \frac{1}{2}, \quad -t - 1 = 4s, \quad -t + 1 = s - 2 \] Thay \(t = 2s - \frac{1}{2}\) vào các phương trình còn lại: \[ -(2s - \frac{1}{2}) - 1 = 4s \Rightarrow -2s + \frac{1}{2} - 1 = 4s \Rightarrow -6s = \frac{1}{2} \Rightarrow s = -\frac{1}{12} \] \[ -(2s - \frac{1}{2}) + 1 = s - 2 \Rightarrow -2s + \frac{1}{2} + 1 = s - 2 \Rightarrow -3s = -\frac{7}{2} \Rightarrow s = \frac{7}{6} \] Nhận thấy rằng \(s\) không đồng nhất, do đó hai đường thẳng không cắt nhau và là đường thẳng chéo. Kết luận: - Điểm A không nằm trên cả hai đường thẳng \(d_1\) và \(d_2\). - Hai đường thẳng \(d_1\) và \(d_2\) là đường thẳng chéo. Do đó, các mệnh đề đúng là: - Điểm A không nằm trên \(d_1\). - Điểm A không nằm trên \(d_2\). - Hai đường thẳng \(d_1\) và \(d_2\) là đường thẳng chéo.