Cho đường tròn (O) và điểm A nằm bên ngoài đường tròn. Từ A kẻ các tiếp tuyến AM, AN với đường tròn (O) (M,N là các tiếp điểm). Một đường thẳng đi qua A cắt đường tròn (O) tại hai điểm P, Q sao cho P nằm giữa A và Q, dây cung PQ không đi qua tâm O. Gọi I là trung điểm của đoạn PQ, Jlà giao điểm của hai đường thẳng AQ và MN.Chứng minh rằng : a) Năm điểm A, M , O, I, N cùng nằm trên một đường tròn và góc JIM = gócJIN b) Tam giác AMP đồng dạng với tam giác AQM và AP . AQ = AI . AJ

Question

Cho đường tròn (O) và điểm A nằm bên ngoài đường tròn. Từ A kẻ các tiếp tuyến AM, AN với đường tròn (O) (M,N là các tiếp điểm). Một đường thẳng đi qua A
 cắt đường tròn (O) tại hai điểm P, Q sao cho P nằm giữa A và Q, dây cung PQ không  
đi qua tâm O. Gọi I là trung điểm của đoạn PQ, Jlà giao điểm của hai đường thẳng  
AQ và MN.Chứng minh rằng : 
a) Năm điểm A, M , O, I, N cùng nằm trên một đường tròn và  góc JIM = gócJIN 
b) Tam giác AMP đồng dạng với tam giác AQM  và AP . AQ = AI . AJ <img src=https://minio.ftech.ai/cvdata/fqa/prod/public/illustration_images/e68da00d1a6240f9a76b384aa4a84d89.jpg />

Accepted Answer

a) Ta có: $A M ⊥ O M$ và $A N ⊥ O N$ Nên $A, M, O, N$ cùng nằm trên đường tròn đường kính $A O$ Mà $I$ là trung điểm của $P Q$ nên $O I ⊥ P Q$

Từ đó ta có $A I$ là đường kính của đường tròn ngoại tiếp tứ giác $A M P Q$

Nên $A, M, O, I, N$ cùng nằm trên đường tròn đường kính $A O$

Ta có: $M N ⊥ A O$ và $P Q ⊥ A O$

Nên $M N / / P Q$ Từ đó ta có: $\hat{J I M} = \hat{J Q P}$ (hai góc so le trong)

$\hat{J I N} = \hat{J P Q}$ (hai góc so le trong)

Mà $\hat{J Q P} = \hat{J P Q}$ (góc nội tiếp cùng chắn cung $P Q$ )

Nên $\hat{J I M} = \hat{J I N}$ b) Ta có: $\hat{M A P} = \hat{M A Q}$ (góc nội tiếp cùng chắn cung $M Q$ )

Nên $Δ A M P \sim Δ A N Q$ (góc đỉnh bằng, hai góc kề đỉnh bằng)

Từ đó ta có: $\frac{A P}{A M} = \frac{A M}{A Q}$ Nên $A M^{2} = A P . A Q$ Mà $A M^{2} = A I . A J$ (giao điểm của hai dây) Nên $A P . A Q = A I . A J$

Cho đường tròn (O) và điểm A nằm bên ngoài đường tròn. Từ A kẻ các tiếp tuyến AM, AN với đường tròn (O) (M,N là các tiếp điểm). Một đường thẳng đi qua A cắt đường tròn (O) tại hai điểm P, Q sao cho P...