giúp gấpppp út gọn biểu thức $P=(\frac1{x-\sqrt x}+\frac{x+\sqrt x+1}{x\sqrt x-1}):\frac{\sqrt x}{x-2\sqrt x+1}$ với $x0,~x
e1.$

Question

giúp gấpppp út gọn biểu thức $P=(\frac1{x-\sqrt x}+\frac{x+\sqrt x+1}{x\sqrt x-1}):\frac{\sqrt x}{x-2\sqrt x+1}$ với $x>0,~x
e1.$

Accepted Answer

Điều kiện xác định: $ x > 0, x \neq 1 $.

Ta có:
$$ P = \left( \frac{1}{x - \sqrt{x}} + \frac{x + \sqrt{x} + 1}{x \sqrt{x} - 1} \right) : \frac{\sqrt{x}}{x - 2 \sqrt{x} + 1} $$

Trước tiên, ta sẽ rút gọn từng phân thức trong biểu thức $ P $.

1. Rút gọn phân thức $ \frac{1}{x - \sqrt{x}} $:
$$ x - \sqrt{x} = \sqrt{x} (\sqrt{x} - 1) $$
Do đó:
$$ \frac{1}{x - \sqrt{x}} = \frac{1}{\sqrt{x} (\sqrt{x} - 1)} $$

2. Rút gọn phân thức $ \frac{x + \sqrt{x} + 1}{x \sqrt{x} - 1} $:
$$ x \sqrt{x} - 1 = (\sqrt{x})^3 - 1 = (\sqrt{x} - 1)(x + \sqrt{x} + 1) $$
Do đó:
$$ \frac{x + \sqrt{x} + 1}{x \sqrt{x} - 1} = \frac{x + \sqrt{x} + 1}{(\sqrt{x} - 1)(x + \sqrt{x} + 1)} = \frac{1}{\sqrt{x} - 1} $$

3. Rút gọn phân thức $ \frac{\sqrt{x}}{x - 2 \sqrt{x} + 1} $:
$$ x - 2 \sqrt{x} + 1 = (\sqrt{x} - 1)^2 $$
Do đó:
$$ \frac{\sqrt{x}}{x - 2 \sqrt{x} + 1} = \frac{\sqrt{x}}{(\sqrt{x} - 1)^2} $$

Bây giờ, ta thay các phân thức đã rút gọn vào biểu thức $ P $:
$$ P = \left( \frac{1}{\sqrt{x} (\sqrt{x} - 1)} + \frac{1}{\sqrt{x} - 1} \right) : \frac{\sqrt{x}}{(\sqrt{x} - 1)^2} $$

Rút gọn biểu thức trong ngoặc:
$$ \frac{1}{\sqrt{x} (\sqrt{x} - 1)} + \frac{1}{\sqrt{x} - 1} = \frac{1 + \sqrt{x}}{\sqrt{x} (\sqrt{x} - 1)} $$

Do đó:
$$ P = \frac{1 + \sqrt{x}}{\sqrt{x} (\sqrt{x} - 1)} : \frac{\sqrt{x}}{(\sqrt{x} - 1)^2} $$

Thực hiện phép chia phân thức:
$$ P = \frac{1 + \sqrt{x}}{\sqrt{x} (\sqrt{x} - 1)} \times \frac{(\sqrt{x} - 1)^2}{\sqrt{x}} = \frac{(1 + \sqrt{x})(\sqrt{x} - 1)}{\sqrt{x} \cdot \sqrt{x}} = \frac{(1 + \sqrt{x})(\sqrt{x} - 1)}{x} $$

Phân tích nhân tử:
$$ (1 + \sqrt{x})(\sqrt{x} - 1) = (\sqrt{x})^2 - 1^2 = x - 1 $$

Do đó:
$$ P = \frac{x - 1}{x} $$

Vậy, biểu thức $ P $ đã được rút gọn thành:
$$ P = \frac{x - 1}{x} $$