giúp mình với

Bài 1. Để xác định các hệ số \(a\), \(b\), và \(c\) của đa thức \(f(x) = ax^2 + bx + c\), ta sẽ sử dụng các điều kiện đã cho: \(f(0) = 2\), \(f(1) = 7\), và \(f(-2) = -14\). Bước 1: Thay \(x = 0\) vào đa thức: \[ f(0) = a(0)^2 + b(0) + c = c \] Theo điều kiện, ta có: \[ c = 2 \] Bước 2: Thay \(x = 1\) vào đa thức: \[ f(1) = a(1)^2 + b(1) + c = a + b + c \] Theo điều kiện, ta có: \[ a + b + c = 7 \] Thay \(c = 2\) vào: \[ a + b + 2 = 7 \] \[ a + b = 5 \quad \text{(1)} \] Bước 3: Thay \(x = -2\) vào đa thức: \[ f(-2) = a(-2)^2 + b(-2) + c = 4a - 2b + c \] Theo điều kiện, ta có: \[ 4a - 2b + c = -14 \] Thay \(c = 2\) vào: \[ 4a - 2b + 2 = -14 \] \[ 4a - 2b = -16 \] \[ 2a - b = -8 \quad \text{(2)} \] Bước 4: Giải hệ phương trình (1) và (2): \[ \begin{cases} a + b = 5 \\ 2a - b = -8 \end{cases} \] Cộng hai phương trình lại: \[ (a + b) + (2a - b) = 5 + (-8) \] \[ 3a = -3 \] \[ a = -1 \] Thay \(a = -1\) vào phương trình (1): \[ -1 + b = 5 \] \[ b = 6 \] Vậy các hệ số của đa thức là: \[ a = -1, \quad b = 6, \quad c = 2 \] Đáp số: \(a = -1\), \(b = 6\), \(c = 2\). Bài 2. Để tìm nghiệm của các đa thức, ta sẽ lần lượt thay các giá trị vào các đa thức và kiểm tra xem kết quả có bằng 0 hay không. (a) f(x) = x^3 - 2x Ta thử các giá trị x: - f(0) = 0^3 - 20 = 0 - f(1) = 1^3 - 21 = 1 - 2 = -1 - f(-1) = (-1)^3 - 2(-1) = -1 + 2 = 1 - f(2) = 2^3 - 22 = 8 - 4 = 4 - f(-2) = (-2)^3 - 2(-2) = -8 + 4 = -4 Như vậy, nghiệm của f(x) là x = 0. (b) f(x) = x^2 - 5x + 6 Ta thử các giá trị x: - f(0) = 0^2 - 50 + 6 = 6 - f(1) = 1^2 - 51 + 6 = 1 - 5 + 6 = 2 - f(2) = 2^2 - 52 + 6 = 4 - 10 + 6 = 0 - f(3) = 3^2 - 53 + 6 = 9 - 15 + 6 = 0 - f(-1) = (-1)^2 - 5(-1) + 6 = 1 + 5 + 6 = 12 Như vậy, nghiệm của f(x) là x = 2 và x = 3. (c) f(x) = x^3 + x^2 + x + 1 Ta thử các giá trị x: - f(0) = 0^3 + 0^2 + 0 + 1 = 1 - f(1) = 1^3 + 1^2 + 1 + 1 = 1 + 1 + 1 + 1 = 4 - f(-1) = (-1)^3 + (-1)^2 + (-1) + 1 = -1 + 1 - 1 + 1 = 0 Như vậy, nghiệm của f(x) là x = -1. (d) C(x) = x^4 - x^2 - 2x + 3 Ta thử các giá trị x: - C(0) = 0^4 - 0^2 - 20 + 3 = 3 - C(1) = 1^4 - 1^2 - 21 + 3 = 1 - 1 - 2 + 3 = 1 - C(-1) = (-1)^4 - (-1)^2 - 2(-1) + 3 = 1 - 1 + 2 + 3 = 5 - C(2) = 2^4 - 2^2 - 22 + 3 = 16 - 4 - 4 + 3 = 11 - C(-2) = (-2)^4 - (-2)^2 - 2(-2) + 3 = 16 - 4 + 4 + 3 = 19 Như vậy, C(x) không có nghiệm. Đáp số: (a) Nghiệm của f(x) là x = 0. (b) Nghiệm của f(x) là x = 2 và x = 3. (c) Nghiệm của f(x) là x = -1. (d) C(x) không có nghiệm. Bài 3. (a) Để đa thức $f(x)$ có nghiệm là -1, ta thay $x = -1$ vào $f(x)$ và giải phương trình $f(-1) = 0$. $f(-1) = m(-1)^2 + 2(-1) + 8 = m - 2 + 8 = m + 6$. Để $f(x)$ có nghiệm là -1, ta cần $f(-1) = 0$, tức là: $m + 6 = 0 \Rightarrow m = -6$. Vậy giá trị của $m$ là $-6$. (b) Để đa thức $g(x)$ có nghiệm là 1, ta thay $x = 1$ vào $g(x)$ và giải phương trình $g(1) = 0$. $g(1) = 1^4 + 3m \cdot 1^3 + 2m \cdot 1^2 + m \cdot 1 - 1 = 1 + 3m + 2m + m - 1 = 6m$. Để $g(x)$ có nghiệm là 1, ta cần $g(1) = 0$, tức là: $6m = 0 \Rightarrow m = 0$. Vậy giá trị của $m$ là $0$. (c) Để đa thức $h(x)$ có nghiệm là -2, ta thay $x = -2$ vào $h(x)$ và giải phương trình $h(-2) = 0$. $h(-2) = (-2)^5 - 3(-2)^2 + m = -32 - 3 \cdot 4 + m = -32 - 12 + m = -44 + m$. Để $h(x)$ có nghiệm là -2, ta cần $h(-2) = 0$, tức là: $-44 + m = 0 \Rightarrow m = 44$. Vậy giá trị của $m$ là $44$. Bài 4. (a) Thực hiện phép tính: \[ M(x) = x(3x + 12) - (7x - 20) - x^2(2x + 3) + x(2x^2 - 5) \] Bước 1: Nhân từng hạng tử trong ngoặc với x: \[ x(3x + 12) = 3x^2 + 12x \] \[ x^2(2x + 3) = 2x^3 + 3x^2 \] \[ x(2x^2 - 5) = 2x^3 - 5x \] Bước 2: Thay vào biểu thức ban đầu: \[ M(x) = 3x^2 + 12x - 7x + 20 - 2x^3 - 3x^2 + 2x^3 - 5x \] Bước 3: Gộp các hạng tử đồng dạng: \[ M(x) = (3x^2 - 3x^2) + (12x - 7x - 5x) + 20 \] \[ M(x) = 0 + 0 + 20 \] \[ M(x) = 20 \] (b) Thực hiện phép tính: \[ N(x) = (x - 5)(3x + 3) - 3x(x - 3) + 3x + 7 \] Bước 1: Nhân từng hạng tử trong ngoặc: \[ (x - 5)(3x + 3) = 3x^2 + 3x - 15x - 15 = 3x^2 - 12x - 15 \] \[ 3x(x - 3) = 3x^2 - 9x \] Bước 2: Thay vào biểu thức ban đầu: \[ N(x) = 3x^2 - 12x - 15 - 3x^2 + 9x + 3x + 7 \] Bước 3: Gộp các hạng tử đồng dạng: \[ N(x) = (3x^2 - 3x^2) + (-12x + 9x + 3x) + (-15 + 7) \] \[ N(x) = 0 + 0 - 8 \] \[ N(x) = -8 \] (c) Thực hiện phép chia đa thức: \[ (9x^4 - 6x^3 + 15x^2 + 2x - 1) \div (3x^2 - 2x + 5) \] Bước 1: Chia phần bậc cao nhất của tử số cho phần bậc cao nhất của mẫu số: \[ \frac{9x^4}{3x^2} = 3x^2 \] Bước 2: Nhân toàn bộ mẫu số với kết quả vừa tìm được: \[ 3x^2 \cdot (3x^2 - 2x + 5) = 9x^4 - 6x^3 + 15x^2 \] Bước 3: Trừ kết quả này từ tử số: \[ (9x^4 - 6x^3 + 15x^2 + 2x - 1) - (9x^4 - 6x^3 + 15x^2) = 2x - 1 \] Bước 4: Kết quả chia là: \[ 3x^2 \text{ với dư } 2x - 1 \] Đáp số: (a) \( M(x) = 20 \) (b) \( N(x) = -8 \) (c) \( 3x^2 \text{ với dư } 2x - 1 \) Bài 5. Để đa thức $x^4+x^3-2x^2+x+a$ chia hết cho đa thức $x+1$, ta cần tìm giá trị của $a$ sao cho khi thay $x = -1$ vào đa thức $x^4+x^3-2x^2+x+a$ thì kết quả bằng 0. Thay $x = -1$ vào đa thức $x^4+x^3-2x^2+x+a$, ta có: \[ (-1)^4 + (-1)^3 - 2(-1)^2 + (-1) + a = 0 \] Tính từng hạng tử: \[ 1 - 1 - 2 - 1 + a = 0 \] \[ -3 + a = 0 \] Giải phương trình này để tìm $a$: \[ a = 3 \] Vậy giá trị của $a$ là 3. Đáp số: $a = 3$. Bài 6. Để đa thức \(3x^4 - 4x^3 + x^2 + ax + b\) chia hết cho đa thức \(x^2 - 4x + 3\), ta cần tìm các số thực \(a\) và \(b\) sao cho phép chia này không dư. Ta thực hiện phép chia \(3x^4 - 4x^3 + x^2 + ax + b\) cho \(x^2 - 4x + 3\): 1. Chia \(3x^4\) cho \(x^2\) được \(3x^2\). 2. Nhân \(3x^2\) với \(x^2 - 4x + 3\) được \(3x^4 - 12x^3 + 9x^2\). 3. Trừ \(3x^4 - 12x^3 + 9x^2\) từ \(3x^4 - 4x^3 + x^2 + ax + b\) được \(8x^3 - 8x^2 + ax + b\). 4. Chia \(8x^3\) cho \(x^2\) được \(8x\). 5. Nhân \(8x\) với \(x^2 - 4x + 3\) được \(8x^3 - 32x^2 + 24x\). 6. Trừ \(8x^3 - 32x^2 + 24x\) từ \(8x^3 - 8x^2 + ax + b\) được \(24x^2 + (a - 24)x + b\). 7. Chia \(24x^2\) cho \(x^2\) được \(24\). 8. Nhân \(24\) với \(x^2 - 4x + 3\) được \(24x^2 - 96x + 72\). 9. Trừ \(24x^2 - 96x + 72\) từ \(24x^2 + (a - 24)x + b\) được \((a + 72)x + (b - 72)\). Để phép chia không dư, ta cần: \[a + 72 = 0 \quad \text{và} \quad b - 72 = 0.\] Giải các phương trình này, ta được: \[a = -72 \quad \text{và} \quad b = 72.\] Vậy các số thực \(a\) và \(b\) cần tìm là: \[a = -72 \quad \text{và} \quad b = 72.\] Bài 7. Gọi số dư khi chia f(x) cho $(x+1)(x^2+1)$ là ax+b. Ta có: f(x) = (x+1)Q(x) + 4 f(x) = $(x^2+1)P(x)+2x+3$ f(x) = $(x+1)(x^2+1)M(x)+ax+b$ Thay x = -1 vào ta có: f(-1) = 4 f(-1) = -a + b Suy ra: -a + b = 4 (1) Thay x = i vào ta có: f(i) = 2i + 3 f(i) = ai + b Suy ra: ai + b = 2i + 3 (2) Từ (1) và (2) suy ra a = 2, b = 6. Vậy số dư khi chia f(x) cho $(x+1)(x^2+1)$ là 2x + 6.