hsjhsdjjđjjdjdjdjdjdjdjdjdjd THẤY LONG,Câu 2: Tính nguyên hàm :,$a,~I_1=\int\sin2xdx$,$b,~I_2=\int\cos2xdx$,$c,~I_3=\int3\sin^2x.\cos^2xdx$,$d)~I_4=\int\sin x.\cos^6xdx$,$e)~I_5=\int(3\sin x+5x)dx$,$f,~I_6=\int(5\sin x-\frac1{x-3})dx$,$g,~I_7=\int\frac{\sin x}{\cos^3x}dx$,$h,~I_8=\int\frac{5\cos x}{\sin^2x}dx$

Question

Accepted Answer

Câu 2:
a) Ta có:
$$ I_1 = \int \sin 2x \, dx $$
Áp dụng công thức nguyên hàm cơ bản:
$$ \int \sin ax \, dx = -\frac{1}{a} \cos ax + C $$
Do đó:
$$ I_1 = -\frac{1}{2} \cos 2x + C $$

b) Ta có:
$$ I_2 = \int \cos 2x \, dx $$
Áp dụng công thức nguyên hàm cơ bản:
$$ \int \cos ax \, dx = \frac{1}{a} \sin ax + C $$
Do đó:
$$ I_2 = \frac{1}{2} \sin 2x + C $$

c) Ta có:
$$ I_3 = \int 3 \sin^2 x \cos^2 x \, dx $$
Sử dụng công thức hạ bậc:
$$ \sin^2 x = \frac{1 - \cos 2x}{2} \quad \text{và} \quad \cos^2 x = \frac{1 + \cos 2x}{2} $$
Do đó:
$$ \sin^2 x \cos^2 x = \left( \frac{1 - \cos 2x}{2} \right) \left( \frac{1 + \cos 2x}{2} \right) = \frac{(1 - \cos^2 2x)}{4} = \frac{1 - \cos^2 2x}{4} = \frac{1 - \frac{1 + \cos 4x}{2}}{4} = \frac{1 - \frac{1}{2} - \frac{\cos 4x}{2}}{4} = \frac{\frac{1}{2} - \frac{\cos 4x}{2}}{4} = \frac{1}{8} - \frac{\cos 4x}{8} $$
Do đó:
$$ I_3 = \int 3 \left( \frac{1}{8} - \frac{\cos 4x}{8} \right) \, dx = \int \left( \frac{3}{8} - \frac{3 \cos 4x}{8} \right) \, dx = \frac{3}{8} \int 1 \, dx - \frac{3}{8} \int \cos 4x \, dx $$
$$ = \frac{3}{8} x - \frac{3}{8} \cdot \frac{1}{4} \sin 4x + C = \frac{3}{8} x - \frac{3}{32} \sin 4x + C $$

d) Ta có:
$$ I_4 = \int \sin x \cos^6 x \, dx $$
Đặt $ u = \cos x $, thì $ du = -\sin x \, dx $
Do đó:
$$ I_4 = -\int u^6 \, du = -\frac{u^7}{7} + C = -\frac{\cos^7 x}{7} + C $$

e) Ta có:
$$ I_5 = \int (3 \sin x + 5x) \, dx $$
Áp dụng tính chất tuyến tính của nguyên hàm:
$$ I_5 = 3 \int \sin x \, dx + 5 \int x \, dx = 3(-\cos x) + 5 \left( \frac{x^2}{2} \right) + C = -3 \cos x + \frac{5x^2}{2} + C $$

f) Ta có:
$$ I_6 = \int \left( 5 \sin x - \frac{1}{x-3} \right) \, dx $$
Áp dụng tính chất tuyến tính của nguyên hàm:
$$ I_6 = 5 \int \sin x \, dx - \int \frac{1}{x-3} \, dx = 5(-\cos x) - \ln |x-3| + C = -5 \cos x - \ln |x-3| + C $$

g) Ta có:
$$ I_7 = \int \frac{\sin x}{\cos^3 x} \, dx $$
Đặt $ u = \cos x $, thì $ du = -\sin x \, dx $
Do đó:
$$ I_7 = -\int \frac{1}{u^3} \, du = -\int u^{-3} \, du = -\left( \frac{u^{-2}}{-2} \right) + C = \frac{1}{2u^2} + C = \frac{1}{2 \cos^2 x} + C $$

h) Ta có:
$$ I_8 = \int \frac{5 \cos x}{\sin^2 x} \, dx $$
Đặt $ u = \sin x $, thì $ du = \cos x \, dx $
Do đó:
$$ I_8 = 5 \int \frac{1}{u^2} \, du = 5 \int u^{-2} \, du = 5 \left( \frac{u^{-1}}{-1} \right) + C = -\frac{5}{u} + C = -\frac{5}{\sin x} + C $$

Đáp số:
a) $ I_1 = -\frac{1}{2} \cos 2x + C $
b) $ I_2 = \frac{1}{2} \sin 2x + C $
c) $ I_3 = \frac{3}{8} x - \frac{3}{32} \sin 4x + C $
d) $ I_4 = -\frac{\cos^7 x}{7} + C $
e) $ I_5 = -3 \cos x + \frac{5x^2}{2} + C $
f) $ I_6 = -5 \cos x - \ln |x-3| + C $
g) $ I_7 = \frac{1}{2 \cos^2 x} + C $
h) $ I_8 = -\frac{5}{\sin x} + C $