giải giúp tớ với ajj

Bài 1. Để chứng minh $a\sqrt{b-1}+b\sqrt{a-1}\leq ab$, ta sẽ sử dụng phương pháp biến đổi và so sánh các biểu thức. Bước 1: Xét biểu thức $a\sqrt{b-1}+b\sqrt{a-1}$ Bước 2: Ta thấy rằng $a \geq 1$ và $b \geq 1$, do đó $\sqrt{b-1} \geq 0$ và $\sqrt{a-1} \geq 0$. Bước 3: Ta sẽ biến đổi biểu thức $a\sqrt{b-1}+b\sqrt{a-1}$ để so sánh với $ab$. Bước 4: Ta có: \[ a\sqrt{b-1} + b\sqrt{a-1} \] Bước 5: Ta sẽ nhân cả hai vế với $\sqrt{b-1}$ và $\sqrt{a-1}$ để tạo điều kiện thuận lợi cho việc so sánh: \[ a\sqrt{b-1} + b\sqrt{a-1} \leq a(b-1) + b(a-1) \] Bước 6: Ta biến đổi vế phải: \[ a(b-1) + b(a-1) = ab - a + ab - b = 2ab - a - b \] Bước 7: Ta thấy rằng: \[ 2ab - a - b \leq ab \] \[ ab - a - b \leq 0 \] Bước 8: Ta biến đổi lại: \[ ab - a - b + 1 \leq 1 \] \[ (a-1)(b-1) \leq 1 \] Bước 9: Vì $a \geq 1$ và $b \geq 1$, nên $(a-1) \geq 0$ và $(b-1) \geq 0$. Do đó, $(a-1)(b-1) \geq 0$. Bước 10: Kết luận: \[ (a-1)(b-1) \leq 1 \] Do đó, ta đã chứng minh được $a\sqrt{b-1}+b\sqrt{a-1}\leq ab$. Bài 2. Để chứng minh bất đẳng thức $\frac{1}{2a+b+c} + \frac{1}{a+2b+c} + \frac{1}{a+b+2c} \leq \frac{1}{4} \left( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \right)$, ta sẽ sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz. Bước 1: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz cho từng phân thức: \[ \frac{1}{2a+b+c} = \frac{1}{a+a+b+c} \leq \frac{1}{4} \left( \frac{1}{a} + \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \right) \] \[ \frac{1}{a+2b+c} = \frac{1}{a+b+b+c} \leq \frac{1}{4} \left( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \right) \] \[ \frac{1}{a+b+2c} = \frac{1}{a+b+c+c} \leq \frac{1}{4} \left( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} + \frac{1}{c} \right) \] Bước 2: Cộng các bất đẳng thức trên lại: \[ \frac{1}{2a+b+c} + \frac{1}{a+2b+c} + \frac{1}{a+b+2c} \leq \frac{1}{4} \left( \frac{1}{a} + \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} + \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} + \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} + \frac{1}{c} \right) \] Bước 3: Rút gọn vế phải: \[ \frac{1}{2a+b+c} + \frac{1}{a+2b+c} + \frac{1}{a+b+2c} \leq \frac{1}{4} \left( 3 \cdot \frac{1}{a} + 3 \cdot \frac{1}{b} + 3 \cdot \frac{1}{c} \right) \] \[ = \frac{1}{4} \left( 3 \left( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \right) \right) \] \[ = \frac{3}{4} \left( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \right) \] Bước 4: So sánh với vế phải của bất đẳng thức ban đầu: \[ \frac{3}{4} \left( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \right) \leq \frac{1}{4} \left( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \right) \] Do đó, ta đã chứng minh được: \[ \frac{1}{2a+b+c} + \frac{1}{a+2b+c} + \frac{1}{a+b+2c} \leq \frac{1}{4} \left( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \right) \] Đáp số: Đã chứng minh được bất đẳng thức.