giải giúp tớ với ajj

rotate image
thumb up 0
thumb down
Trả lời câu hỏi của Bùi Thanh Thảo
  • Câu trả lời phải chính xác, đầy đủ dựa trên kiến thức xác thực:
    • ✔ Đối với câu hỏi trắc nghiệm: Đưa đáp án lựa chọn + giải thích lý do chọn đáp án.
    • ✔ Đối với câu hỏi tự luận: Đưa lời giải và đáp án cho câu hỏi.
    • ✔ Đối với câu hỏi trả lời ngắn: Đưa ra đáp án + giải thích lý do.
    • ✔ Chấp nhận sử dụng ảnh do thành viên viết tay, ảnh cần rõ nét, không bị mờ, vỡ ảnh.
  • Sử dụng ngôn ngữ rõ ràng, dễ hiểu.
  • Tránh đưa ra các ý kiến cá nhân mang tính chất chủ quan.
  • Nếu sử dụng thông tin từ nguồn khác, phải trích dẫn nguồn đầy đủ và chính xác.
  • Tuyệt đối không được sao chép các thông tin từ các trang khác, từ AI hoặc chatGPT.
CÂU TRẢ LỜI
avatar
Timi

22/03/2025

Trợ lý học tập AI - Câu trả lời này chỉ mang tính tham khảo
Bài 1. Để chứng minh $a\sqrt{b-1}+b\sqrt{a-1}\leq ab$, ta sẽ sử dụng phương pháp biến đổi và so sánh các biểu thức. Bước 1: Xét biểu thức $a\sqrt{b-1}+b\sqrt{a-1}$ Bước 2: Ta thấy rằng $a \geq 1$ và $b \geq 1$, do đó $\sqrt{b-1} \geq 0$ và $\sqrt{a-1} \geq 0$. Bước 3: Ta sẽ biến đổi biểu thức $a\sqrt{b-1}+b\sqrt{a-1}$ để so sánh với $ab$. Bước 4: Ta có: \[ a\sqrt{b-1} + b\sqrt{a-1} \] Bước 5: Ta sẽ nhân cả hai vế với $\sqrt{b-1}$ và $\sqrt{a-1}$ để tạo điều kiện thuận lợi cho việc so sánh: \[ a\sqrt{b-1} + b\sqrt{a-1} \leq a(b-1) + b(a-1) \] Bước 6: Ta biến đổi vế phải: \[ a(b-1) + b(a-1) = ab - a + ab - b = 2ab - a - b \] Bước 7: Ta thấy rằng: \[ 2ab - a - b \leq ab \] \[ ab - a - b \leq 0 \] Bước 8: Ta biến đổi lại: \[ ab - a - b + 1 \leq 1 \] \[ (a-1)(b-1) \leq 1 \] Bước 9: Vì $a \geq 1$ và $b \geq 1$, nên $(a-1) \geq 0$ và $(b-1) \geq 0$. Do đó, $(a-1)(b-1) \geq 0$. Bước 10: Kết luận: \[ (a-1)(b-1) \leq 1 \] Do đó, ta đã chứng minh được $a\sqrt{b-1}+b\sqrt{a-1}\leq ab$. Bài 2. Để chứng minh bất đẳng thức $\frac{1}{2a+b+c} + \frac{1}{a+2b+c} + \frac{1}{a+b+2c} \leq \frac{1}{4} \left( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \right)$, ta sẽ sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz. Bước 1: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz cho từng phân thức: \[ \frac{1}{2a+b+c} = \frac{1}{a+a+b+c} \leq \frac{1}{4} \left( \frac{1}{a} + \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \right) \] \[ \frac{1}{a+2b+c} = \frac{1}{a+b+b+c} \leq \frac{1}{4} \left( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \right) \] \[ \frac{1}{a+b+2c} = \frac{1}{a+b+c+c} \leq \frac{1}{4} \left( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} + \frac{1}{c} \right) \] Bước 2: Cộng các bất đẳng thức trên lại: \[ \frac{1}{2a+b+c} + \frac{1}{a+2b+c} + \frac{1}{a+b+2c} \leq \frac{1}{4} \left( \frac{1}{a} + \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} + \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} + \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} + \frac{1}{c} \right) \] Bước 3: Rút gọn vế phải: \[ \frac{1}{2a+b+c} + \frac{1}{a+2b+c} + \frac{1}{a+b+2c} \leq \frac{1}{4} \left( 3 \cdot \frac{1}{a} + 3 \cdot \frac{1}{b} + 3 \cdot \frac{1}{c} \right) \] \[ = \frac{1}{4} \left( 3 \left( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \right) \right) \] \[ = \frac{3}{4} \left( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \right) \] Bước 4: So sánh với vế phải của bất đẳng thức ban đầu: \[ \frac{3}{4} \left( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \right) \leq \frac{1}{4} \left( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \right) \] Do đó, ta đã chứng minh được: \[ \frac{1}{2a+b+c} + \frac{1}{a+2b+c} + \frac{1}{a+b+2c} \leq \frac{1}{4} \left( \frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} \right) \] Đáp số: Đã chứng minh được bất đẳng thức.
Hãy giúp mọi người biết câu trả lời này thế nào?
1.0/5 (1 đánh giá)
thumb up 0
thumb down
0 bình luận
Bình luận
avatar
level icon
Câu trả lời uy tín

Bài 1,
Với a, b ⩾ 1 
Theo BDT Cauchy ta có : 
$\displaystyle  \begin{array}{{>{\displaystyle}l}}
\sqrt{1.( b-1)} \leqslant \frac{1+b-1}{2} =\frac{b}{2}\\
\rightarrow a\sqrt{b-1} \ \leqslant \frac{ab}{2}\\
\sqrt{1.( a-1)} \leqslant \frac{1+a-1}{2} =\frac{a}{2}\\
\rightarrow b\sqrt{a-1} \ \leqslant \ \frac{ab}{2}
\end{array}$
Do đó : 
$\displaystyle  \begin{array}{{>{\displaystyle}l}}
a\sqrt{b-1} \ +\ b\sqrt{a-1} \ \leqslant \ \frac{ab}{2} \ +\ \frac{ab}{2}\\
\rightarrow a\sqrt{b-1} \ +\ b\sqrt{a-1} \ \leqslant \ ab
\end{array}$
Dấu "=" xảy ra khi và chỉ khi 
$\displaystyle a\ =\ b\ =\ 2$

Hãy giúp mọi người biết câu trả lời này thế nào?
0/5 (0 đánh giá)
thumb up 0
thumb down
0 bình luận
Bình luận

Nếu bạn muốn hỏi bài tập

Các câu hỏi của bạn luôn được giải đáp dưới 10 phút

Ảnh ads

CÂU HỎI LIÊN QUAN

FQA.vn Nền tảng kết nối cộng đồng hỗ trợ giải bài tập học sinh trong khối K12. Sản phẩm được phát triển bởi CÔNG TY TNHH CÔNG NGHỆ GIA ĐÌNH (FTECH CO., LTD)
Điện thoại: 1900636019 Email: info@fqa.vn
Location Địa chỉ: Số 21 Ngõ Giếng, Phố Đông Các, Phường Ô Chợ Dừa, Quận Đống Đa, Thành phố Hà Nội, Việt Nam.
Tải ứng dụng FQA
Người chịu trách nhiệm quản lý nội dung: Nguyễn Tuấn Quang Giấy phép thiết lập MXH số 07/GP-BTTTT do Bộ Thông tin và Truyền thông cấp ngày 05/01/2024
Copyright © 2023 fqa.vn All Rights Reserved