Bài 3. Cho ABC nhọn có 2 đường cao AM,BN cắt nhau tại K . Kẻ MH vuông góc với AC tại H .
a) Chứng minh tam giác AKN∽tam giác BKM , tam giác AKB∽tam giác NKM .
b) Chứng minh MC^2 = AC.HC .
c) Gọi I là giao điểm của KH và MN . Kẻ IE vuông góc với AC ( E thuộc AC ). Gọi F là giao điểm
của IE và KM . Chứng minh rằng 1/KN + 1/MH = 2/EF

Question

x_Hân_Phạm_xhg1 · Accepted Answer

a) Xét $ riangle AKN$ và $ riangle BKM$:

$\angle K_1 = \angle K_2$ (đđ)

$\angle ANK = \angle BMK = 90^\circ$

$\Rightarrow riangle AKN \sim riangle BKM$ (g.g)

b) $ riangle AKN \sim riangle BKM$

$\Rightarrow \frac{AK}{BK} = \frac{KN}{KM}$

Xét $ riangle AKB$ và $ riangle NKM$:

$\angle K_3 = \angle NKM$ (đđ)

$\frac{AK}{BK} = \frac{KN}{KM}$

$\Rightarrow riangle AKB \sim riangle NKM$ (c.g.c)

c) Xét $ riangle MHC$ và $ riangle AMC$:

$\angle C$: chung

$\angle MHC = \angle AMC = 90^\circ$

$\Rightarrow riangle MHC \sim riangle AMC$ (g.g)

$\Rightarrow \frac{MC}{AC} = \frac{HC}{MC}$

$\Rightarrow MC^2 = AC \cdot HC$

d) $KN // FE // MH (\perp AC)$

$ riangle MKN, FI // KN$

$\Rightarrow \frac{FI}{KN} = \frac{MF}{MK}$ (1)

$ riangle HKN, EI // KN$

$\Rightarrow \frac{EI}{KN} = \frac{HE}{MN}$ (2)

Hình thang $KNHM (KN // HM)$ có $KN // FE // MH$

$\Rightarrow \frac{MF}{MK} = \frac{HE}{MN}$ (3)

Từ (1), (2), (3) $\Rightarrow \frac{FI}{KN} = \frac{EI}{KN}$

$\Rightarrow FI = EI$

$\Rightarrow FI = \frac{1}{2} EF$

$ riangle KMH, FI // MH$

$\Rightarrow \frac{FI}{MH} = \frac{KF}{KM} (4)$

$(1)(4) \Rightarrow \frac{FI}{KN} + \frac{FI}{MH} = \frac{MF}{MK} + \frac{KF}{KM} = 1$

$\Rightarrow \frac{1}{KN} + \frac{1}{MH} = \frac{1}{FI}$

$\Rightarrow \frac{1}{KN} + \frac{1}{MH} = \frac{2}{EF}$

Timi · Answer

Bài 3.
a) Ta có $\angle AKM = \angle BKN$ (đối đỉnh)
$\angle KAN = \angle KBM$ (cùng phụ với $\angle ABC$)
Do đó $	riangle AKN \sim 	riangle BKM$ (g-g)
Tương tự ta có $	riangle AKB \sim 	riangle NKM$ (g-g)
b) Ta có $\angle MCB = \angle HCM$ (cùng phụ với $\angle HCA$)
$\angle CHM = \angle CMB$ (cùng bằng 90°)
Do đó $	riangle MCB \sim 	riangle HCM$ (g-g)
Suy ra $\frac{MC}{HC} = \frac{BC}{MC}$
Suy ra $MC^2 = BC.HC$
c) Ta có $\angle KMN = \angle KNA$ (cùng phụ với $\angle ANM$)
$\angle KNA = \angle KMA$ (cùng phụ với $\angle KAM$)
Do đó $\angle KMN = \angle KMA$
Ta có $\angle KMN = \angle KMA$ (chứng minh trên)
$\angle MKF = \angle MAK$ (cùng phụ với $\angle KAM$)
Do đó $	riangle MKF \sim 	riangle MAK$ (g-g)
Suy ra $\frac{MK}{MA} = \frac{KF}{AK}$
Suy ra $\frac{MK}{KF} = \frac{MA}{AK}$
Tương tự ta có $\frac{NK}{NE} = \frac{MB}{BK}$
Ta có $\frac{MK}{KF} + \frac{NK}{NE} = \frac{MA}{AK} + \frac{MB}{BK}$
Suy ra $\frac{MK}{KF} + \frac{NK}{NE} = \frac{MA + MB}{AK}$
Suy ra $\frac{MK}{KF} + \frac{NK}{NE} = \frac{AB}{AK}$
Suy ra $\frac{MK}{KF} + \frac{NK}{NE} = 2$
Suy ra $\frac{1}{KF} + \frac{1}{NE} = \frac{2}{EF}$
Suy ra $\frac{1}{KN} + \frac{1}{MH} = \frac{2}{EF}$

Bài 3. Cho ABC nhọn có 2 đường cao AM,BN cắt nhau tại K . Kẻ MH vuông góc với AC tại H . a) Chứng minh tam giác AKN∽tam giác BKM , tam giác AKB∽tam giác NKM . b) Chứng minh MC^2 = AC.HC . c) Gọi I là...