Cho đoạn thẳng AB. Trên cùng một nửa mặt phẳng có bờ là đường thẳng AB vẽ hai tia Ax và By lần lượt vuông góc với AB tại A và B. Gọi O là trung điểm của đoạn thẳng AB. Trên tia Ax lấy điểm C và trên ti...

a) Ta có: - Tia Ax vuông góc với AB tại A, tia By vuông góc với AB tại B. - Gọi O là trung điểm của đoạn thẳng AB, tức là OA = OB. - Trên tia Ax lấy điểm C và trên tia By lấy điểm D sao cho góc COD bằng 90°. Ta sẽ chứng minh rằng AC × BD = $\frac{AB^2}{4}$. Xét tam giác OAC và tam giác OBD: - Góc OAC = 90° (vì Ax vuông góc với AB). - Góc OBD = 90° (vì By vuông góc với AB). - Góc COD = 90° (theo đề bài). Do đó, tam giác OAC và tam giác OBD là các tam giác vuông tại O. Ta có: - Tam giác OAC có góc OAC = 90°. - Tam giác OBD có góc OBD = 90°. - Góc COD = 90°, tức là góc AOC + góc BOD = 90°. Vì O là trung điểm của AB, nên OA = OB. Xét tam giác OAC và tam giác OBD: - Góc OAC = 90°. - Góc OBD = 90°. - Góc AOC + góc BOD = 90°. Do đó, tam giác OAC và tam giác OBD là các tam giác vuông có một góc nhọn bằng nhau (góc AOC và góc BOD). Theo tính chất của tam giác vuông có một góc nhọn bằng nhau, ta có: \[ \frac{AC}{OA} = \frac{OB}{BD} \] Vì OA = OB, nên ta có: \[ \frac{AC}{OA} = \frac{OA}{BD} \] Nhân cả hai vế với OA × BD, ta được: \[ AC × BD = OA^2 \] Vì O là trung điểm của AB, nên OA = OB = $\frac{AB}{2}$. Do đó: \[ OA^2 = \left( \frac{AB}{2} \right)^2 = \frac{AB^2}{4} \] Vậy ta có: \[ AC × BD = \frac{AB^2}{4} \] Đáp số: AC × BD = $\frac{AB^2}{4}$.