Ai giúp em với...

Để tìm giá trị nhỏ nhất của biểu thức \( Q = \sqrt{\frac{y^3}{x+1}} + \frac{4x^3}{y} \), ta cần sử dụng các bất đẳng thức và điều kiện đã cho. Bước 1: Xác định điều kiện Ta có điều kiện: \((\sqrt{x} + 1)(\sqrt{2y} + 2) + 9x \geq 17\) Bước 2: Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki cho biểu thức \( Q \): \[ Q = \sqrt{\frac{y^3}{x+1}} + \frac{4x^3}{y} \] Bước 3: Tìm giá trị nhỏ nhất của \( Q \) Áp dụng bất đẳng thức Bunhiacopxki: \[ \left( \sqrt{\frac{y^3}{x+1}} + \frac{4x^3}{y} \right)^2 \leq \left( \frac{y^3}{x+1} + \frac{16x^6}{y^2} \right) \cdot (1 + 1) \] \[ \left( \sqrt{\frac{y^3}{x+1}} + \frac{4x^3}{y} \right)^2 \leq 2 \left( \frac{y^3}{x+1} + \frac{16x^6}{y^2} \right) \] Bước 4: Tìm giá trị nhỏ nhất của \( \frac{y^3}{x+1} + \frac{16x^6}{y^2} \) Áp dụng bất đẳng thức AM-GM: \[ \frac{y^3}{x+1} + \frac{16x^6}{y^2} \geq 2 \sqrt{\frac{y^3}{x+1} \cdot \frac{16x^6}{y^2}} = 2 \sqrt{\frac{16x^6 y}{x+1}} = 8x^3 \sqrt{\frac{y}{x+1}} \] Bước 5: Kết luận giá trị nhỏ nhất của \( Q \) Từ các bước trên, ta thấy rằng giá trị nhỏ nhất của \( Q \) sẽ đạt được khi \( \frac{y^3}{x+1} = \frac{16x^6}{y^2} \). Điều này xảy ra khi \( y = 2x \). Thay \( y = 2x \) vào biểu thức \( Q \): \[ Q = \sqrt{\frac{(2x)^3}{x+1}} + \frac{4x^3}{2x} = \sqrt{\frac{8x^3}{x+1}} + 2x^2 \] Để tìm giá trị nhỏ nhất của \( Q \), ta cần kiểm tra các giá trị \( x \) và \( y \) thỏa mãn điều kiện ban đầu. Ta thấy rằng khi \( x = 1 \) và \( y = 2 \), biểu thức \( Q \) đạt giá trị nhỏ nhất. Do đó, giá trị nhỏ nhất của biểu thức \( Q \) là: \[ Q_{min} = 4 \] Đáp số: \( Q_{min} = 4 \)