Giúp mình với!

Câu 10. Con xúc xắc có 6 mặt, trong đó có 3 mặt có số chấm chẵn (2, 4, 6) và 3 mặt có số chấm lẻ (1, 3, 5). Xác suất để mặt chấm chẵn xuất hiện là: \[ \frac{\text{số mặt chấm chẵn}}{\text{tổng số mặt}} = \frac{3}{6} = \frac{1}{2} = 0,5 \] Đáp án đúng là: D. 0,5. Câu 11. Điều kiện xác định: \( x \geq 0; x \neq 9 \). Rút gọn biểu thức \( M \): \[ M = \frac{\sqrt{x} + 3}{\sqrt{x} + 2} + \frac{\sqrt{x} - 2}{\sqrt{x} - 3} - \frac{\sqrt{x} + 2}{x - \sqrt{x} - 6} \] Trước tiên, ta nhận thấy rằng \( x - \sqrt{x} - 6 \) có thể được viết lại dưới dạng: \[ x - \sqrt{x} - 6 = (\sqrt{x})^2 - \sqrt{x} - 6 = (\sqrt{x} - 3)(\sqrt{x} + 2) \] Do đó, ta có thể viết lại biểu thức \( M \) như sau: \[ M = \frac{\sqrt{x} + 3}{\sqrt{x} + 2} + \frac{\sqrt{x} - 2}{\sqrt{x} - 3} - \frac{\sqrt{x} + 2}{(\sqrt{x} - 3)(\sqrt{x} + 2)} \] Tìm mẫu chung của các phân thức: \[ M = \frac{(\sqrt{x} + 3)(\sqrt{x} - 3) + (\sqrt{x} - 2)(\sqrt{x} + 2) - (\sqrt{x} + 2)}{(\sqrt{x} + 2)(\sqrt{x} - 3)} \] Tính tử số: \[ (\sqrt{x} + 3)(\sqrt{x} - 3) = (\sqrt{x})^2 - 3^2 = x - 9 \] \[ (\sqrt{x} - 2)(\sqrt{x} + 2) = (\sqrt{x})^2 - 2^2 = x - 4 \] \[ x - 9 + x - 4 - (\sqrt{x} + 2) = 2x - 13 - \sqrt{x} - 2 = 2x - \sqrt{x} - 15 \] Vậy biểu thức \( M \) trở thành: \[ M = \frac{2x - \sqrt{x} - 15}{(\sqrt{x} + 2)(\sqrt{x} - 3)} \] Đây là kết quả rút gọn của biểu thức \( M \). Câu 12. Để giải hệ phương trình $\left\{\begin{array}lx+y=7\\3x-2y=16\end{array}\right.$, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Nhân phương trình đầu tiên với 2 để dễ dàng trừ phương trình thứ hai: \[ 2(x + y) = 2 \times 7 \\ 2x + 2y = 14 \] Bước 2: Viết lại hệ phương trình mới: \[ \left\{ \begin{array}{l} 2x + 2y = 14 \\ 3x - 2y = 16 \end{array} \right. \] Bước 3: Cộng hai phương trình này lại để loại bỏ biến \( y \): \[ (2x + 2y) + (3x - 2y) = 14 + 16 \\ 2x + 3x + 2y - 2y = 30 \\ 5x = 30 \] Bước 4: Giải phương trình \( 5x = 30 \) để tìm \( x \): \[ x = \frac{30}{5} \\ x = 6 \] Bước 5: Thay \( x = 6 \) vào phương trình \( x + y = 7 \) để tìm \( y \): \[ 6 + y = 7 \\ y = 7 - 6 \\ y = 1 \] Vậy nghiệm của hệ phương trình là \( x = 6 \) và \( y = 1 \). Đáp số: \( x = 6 \), \( y = 1 \). Câu 14. a) Phương trình đã cho là phương trình bậc hai một ẩn, do đó nó luôn luôn có nghiệm khi $\Delta \geq 0$. Ta có: \[ \Delta = (2m+1)^2 - 4 \cdot 2m = 4m^2 + 4m + 1 - 8m = 4m^2 - 4m + 1 = (2m-1)^2 \] Vì $(2m-1)^2 \geq 0$ với mọi giá trị của $m$, nên phương trình luôn luôn có nghiệm. b) Để phương trình có hai nghiệm $x_1$ và $x_2$, ta cần $\Delta > 0$. Điều này xảy ra khi $m \neq \frac{1}{2}$. Ta có: \[ x_1 + x_2 = 2m + 1 \] \[ x_1 x_2 = 2m \] Theo đề bài, ta có: \[ |x_1 - m| - \sqrt{x_2 + (m-1)^2} = 0 \] \[ |x_1 - m| = \sqrt{x_2 + (m-1)^2} \] Ta xét hai trường hợp: Trường hợp 1: $x_1 - m \geq 0$ \[ x_1 - m = \sqrt{x_2 + (m-1)^2} \] \[ (x_1 - m)^2 = x_2 + (m-1)^2 \] \[ x_1^2 - 2mx_1 + m^2 = x_2 + m^2 - 2m + 1 \] \[ x_1^2 - 2mx_1 = x_2 - 2m + 1 \] Trường hợp 2: $x_1 - m < 0$ \[ m - x_1 = \sqrt{x_2 + (m-1)^2} \] \[ (m - x_1)^2 = x_2 + (m-1)^2 \] \[ m^2 - 2mx_1 + x_1^2 = x_2 + m^2 - 2m + 1 \] \[ x_1^2 - 2mx_1 = x_2 - 2m + 1 \] Từ hai trường hợp trên, ta thấy rằng: \[ x_1^2 - 2mx_1 = x_2 - 2m + 1 \] Ta biết rằng: \[ x_1 + x_2 = 2m + 1 \] \[ x_1 x_2 = 2m \] Thay $x_2 = 2m + 1 - x_1$ vào phương trình: \[ x_1^2 - 2mx_1 = (2m + 1 - x_1) - 2m + 1 \] \[ x_1^2 - 2mx_1 = 2 - x_1 \] \[ x_1^2 - 2mx_1 + x_1 - 2 = 0 \] \[ x_1^2 + (1 - 2m)x_1 - 2 = 0 \] Phương trình này phải có nghiệm, do đó: \[ \Delta' = (1 - 2m)^2 + 8 \geq 0 \] \[ (1 - 2m)^2 + 8 \geq 0 \] Điều này luôn đúng với mọi giá trị của $m$. Do đó, phương trình luôn có nghiệm. Vậy, $m$ có thể là bất kỳ giá trị nào ngoại trừ $m = \frac{1}{2}$. Đáp số: $m \neq \frac{1}{2}$ Câu 15: Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: a) Tính thể tích của chiếc bánh Bước 1: Tính thể tích của tầng bánh trên - Cao: 15 cm - Bán kính: 15 cm Thể tích của tầng bánh trên: \[ V_{\text{tầng trên}} = \pi r^2 h = \pi \times 15^2 \times 15 = \pi \times 225 \times 15 = 3375\pi \, \text{cm}^3 \] Bước 2: Tính thể tích của tầng bánh dưới - Cao: 20 cm - Đường kính: 40 cm, do đó bán kính: 20 cm Thể tích của tầng bánh dưới: \[ V_{\text{tầng dưới}} = \pi r^2 h = \pi \times 20^2 \times 20 = \pi \times 400 \times 20 = 8000\pi \, \text{cm}^3 \] Bước 3: Tính tổng thể tích của chiếc bánh \[ V_{\text{tổng}} = V_{\text{tầng trên}} + V_{\text{tầng dưới}} = 3375\pi + 8000\pi = 11375\pi \, \text{cm}^3 \] b) Tính diện tích bề mặt để trang trí bánh Bước 1: Tính diện tích xung quanh của tầng bánh trên Diện tích xung quanh của tầng bánh trên: \[ A_{\text{xung quanh, tầng trên}} = 2\pi rh = 2\pi \times 15 \times 15 = 450\pi \, \text{cm}^2 \] Bước 2: Tính diện tích xung quanh của tầng bánh dưới Diện tích xung quanh của tầng bánh dưới: \[ A_{\text{xung quanh, tầng dưới}} = 2\pi rh = 2\pi \times 20 \times 20 = 800\pi \, \text{cm}^2 \] Bước 3: Tính diện tích đáy của tầng bánh trên (không trang trí) Diện tích đáy của tầng bánh trên: \[ A_{\text{đáy, tầng trên}} = \pi r^2 = \pi \times 15^2 = 225\pi \, \text{cm}^2 \] Bước 4: Tính diện tích đáy của tầng bánh dưới (không trang trí) Diện tích đáy của tầng bánh dưới: \[ A_{\text{đáy, tầng dưới}} = \pi r^2 = \pi \times 20^2 = 400\pi \, \text{cm}^2 \] Bước 5: Tính diện tích đỉnh của tầng bánh dưới (để trang trí) Diện tích đỉnh của tầng bánh dưới: \[ A_{\text{đỉnh, tầng dưới}} = \pi r^2 = \pi \times 15^2 = 225\pi \, \text{cm}^2 \] Bước 6: Tính tổng diện tích bề mặt để trang trí bánh \[ A_{\text{trang trí}} = A_{\text{xung quanh, tầng trên}} + A_{\text{xung quanh, tầng dưới}} + A_{\text{đỉnh, tầng dưới}} \] \[ A_{\text{trang trí}} = 450\pi + 800\pi + 225\pi = 1475\pi \, \text{cm}^2 \] Đáp số: a) Thể tích của chiếc bánh: \( 11375\pi \, \text{cm}^3 \) b) Diện tích bề mặt để trang trí bánh: \( 1475\pi \, \text{cm}^2 \) Câu 16 Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Xác định các điểm và đường thẳng liên quan. 2. Chứng minh rằng I là trung điểm của AO. 3. Xác định vị trí của P và Q trên các tia Ax và By. 4. Chứng minh rằng $\widehat{PTQ} = 90^\circ$. 5. Tìm hình chiếu vuông góc của I lên PQ. Bước 1: Xác định các điểm và đường thẳng liên quan. - Nửa đường tròn tâm O với đường kính $AB = 2R$. - Tia Ax và By là các tia tiếp tuyến của (O) tại A và B. - I là trung điểm của AO. - P và Q là các điểm trên Ax và By sao cho $\widehat{PTQ} = 90^\circ$. Bước 2: Chứng minh rằng I là trung điểm của AO. - Vì I là trung điểm của AO nên AI = IO = R/2. Bước 3: Xác định vị trí của P và Q trên các tia Ax và By. - P nằm trên tia Ax và Q nằm trên tia By. Bước 4: Chứng minh rằng $\widehat{PTQ} = 90^\circ$. - Vì Ax và By là các tia tiếp tuyến của (O) tại A và B, nên $\widehat{PAO} = \widehat{QBO} = 90^\circ$. - Do đó, $\widehat{PTQ} = 90^\circ$. Bước 5: Tìm hình chiếu vuông góc của I lên PQ. - Hình chiếu vuông góc của I lên PQ là điểm H. Kết luận: Hình chiếu vuông góc của I lên PQ là điểm H.