Cho tam giác ABC có BD và CE là đường trung tuyến cắt nhau tại G biết BD = CE
a) chứng minh BG = CG; DG =GE
b) Chứng minh tam giác ABC cân

Question

Cho tam giác ABC có BD và CE là đường trung tuyến cắt nhau tại G biết BD = CE
 a) chứng minh BG = CG; DG =GE
b) Chứng minh tam giác ABC cân

Accepted Answer

a)

$\displaystyle \begin{array}{{>{\displaystyle}l}}
BG\ =\frac{2}{3} \ BD\
CG\ =\ \frac{2}{3} CE\
DG\ =\ \frac{1}{3} BD\
GE\ =\ \frac{1}{3} CE
\end{array}$

Vì $\displaystyle BD\ =\ CE$ (giả thiết), ta có:

$\displaystyle \begin{array}{{>{\displaystyle}l}}
BG\ =\frac{2}{3} \ BD\ =\ \frac{2}{3} CE\ =\ CG\
DG\ =\ \frac{1}{3} BD\ =\ \frac{1}{3} CE\ =\ GE
\end{array}$

Vậy, $\displaystyle BG\ =\ CG\ $và $\displaystyle DG\ =\ GE\ $(điều phải chứng minh).

b)

Xét tam giác GBC:

Vì $\displaystyle BG\ =\ CG$ (chứng minh ở câu a)

nên tam giác GBC là tam giác cân tại G.

Gọi F là trung điểm của BC.

Vì tam giác GBC cân tại G, nên GF là đường trung tuyến đồng thời là đường cao của tam giác GBC.

$\displaystyle \Rightarrow GF\ \perp BC$

Xét tam giác BGC và tam giác CGB:

$\displaystyle BG\ =\ CG$ (chứng minh ở câu a)

$\displaystyle GC\ =\ GB$ (chứng minh ở câu a)

BC chung

$\displaystyle \Rightarrow \Delta BGC\ =\Delta CGB\ $(c.c.c)

$\displaystyle \widehat{GBC} =\widehat{GCB}$

Xét tam giác ABC:

Vì $\displaystyle \widehat{GBC} =\widehat{GCB}$ (chứng minh trên)

nên tam giác ABC cân tại A.

Vậy, tam giác ABC cân (điều phải chứng minh).

Cho tam giác ABC có BD và CE là đường trung tuyến cắt nhau tại G biết BD = CE a) chứng minh BG = CG; DG =GE b) Chứng minh tam giác ABC cân