hhhhhhhhhhhhh Câu 5 cho biểu thức,$A=(\frac{\sqrt x}{\sqrt x-1}+\frac2{x-\sqrt x}):\frac1{\sqrt x-1}$,a, tìm điều kiện xác định, rút gọn A,b, tính giá trị của A khi $x=3-2\sqrt2$

Question

Accepted Answer

Câu 5
a, Điều kiện xác định: $ x \geq 0 $ và $ x \neq 1 $.

Rút gọn biểu thức $ A $:
$$ A = \left( \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-1} + \frac{2}{x-\sqrt{x}} \right) : \frac{1}{\sqrt{x}-1} $$

Chúng ta sẽ thực hiện phép chia trước:
$$ A = \left( \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-1} + \frac{2}{x-\sqrt{x}} \right) \times (\sqrt{x}-1) $$

Phân tích mẫu số của phân số thứ hai:
$$ x - \sqrt{x} = \sqrt{x}(\sqrt{x} - 1) $$

Do đó:
$$ \frac{2}{x-\sqrt{x}} = \frac{2}{\sqrt{x}(\sqrt{x}-1)} $$

Bây giờ, chúng ta có thể viết lại biểu thức $ A $:
$$ A = \left( \frac{\sqrt{x}}{\sqrt{x}-1} + \frac{2}{\sqrt{x}(\sqrt{x}-1)} \right) \times (\sqrt{x}-1) $$

Tìm mẫu số chung:
$$ A = \left( \frac{\sqrt{x} \cdot \sqrt{x} + 2}{\sqrt{x}(\sqrt{x}-1)} \right) \times (\sqrt{x}-1) $$
$$ A = \left( \frac{x + 2}{\sqrt{x}(\sqrt{x}-1)} \right) \times (\sqrt{x}-1) $$

Chúng ta có thể giản ước $ \sqrt{x} - 1 $:
$$ A = \frac{x + 2}{\sqrt{x}} $$

b, Tính giá trị của $ A $ khi $ x = 3 - 2\sqrt{2} $:

Thay $ x = 3 - 2\sqrt{2} $ vào biểu thức đã rút gọn:
$$ A = \frac{(3 - 2\sqrt{2}) + 2}{\sqrt{3 - 2\sqrt{2}}} $$
$$ A = \frac{5 - 2\sqrt{2}}{\sqrt{3 - 2\sqrt{2}}} $$

Chúng ta cần kiểm tra xem $ 3 - 2\sqrt{2} $ có thể được viết dưới dạng bình phương của một biểu thức nào đó không. Ta nhận thấy:
$$ 3 - 2\sqrt{2} = (\sqrt{2} - 1)^2 $$

Do đó:
$$ \sqrt{3 - 2\sqrt{2}} = \sqrt{(\sqrt{2} - 1)^2} = |\sqrt{2} - 1| = \sqrt{2} - 1 $$

Vậy:
$$ A = \frac{5 - 2\sqrt{2}}{\sqrt{2} - 1} $$

Chúng ta nhân cả tử và mẫu với $ \sqrt{2} + 1 $ để có:
$$ A = \frac{(5 - 2\sqrt{2})(\sqrt{2} + 1)}{(\sqrt{2} - 1)(\sqrt{2} + 1)} $$
$$ A = \frac{5\sqrt{2} + 5 - 4 - 2\sqrt{2}}{2 - 1} $$
$$ A = \frac{3\sqrt{2} + 1}{1} $$
$$ A = 3\sqrt{2} + 1 $$

Đáp số: $ A = 3\sqrt{2} + 1 $