Cho (O;R) và 1 điểm A nằm ngoài (O). Từ điểm M chuyển động trên đường thẳng d vuông góc với OA tại A. Vẽ các tiếp tuyến MP,MK với (O), dây PK cắt OM tại N, cắt OA tại B
a chứng minh 4 điểm O,P,M,K cùng thuộc 1 đường tròn
b chứng minh PK vuông góc với OM
c chứng minh OA.OB=Om.ON=R^2

Question

Accepted Answer

a)
vi $M P, M K$ là hai tiếp tuyến của đường tròn $(O)$

$ightarrow \widehat{M P O}=\widehat{M K O}=90^{\circ}$

$ riangle M P O$ vuông tại $P$
$ ightarrow 3$ điếm $M, P, O$ cùng thuộc một đường tròn đường kính $O M$
$\Delta M K O$ vuông tại $K$
$ ightarrow 3$ điếm $M, K, O$ cùng thuộc một đường tròn đường kính $O M$
$ ightarrow 4$ điếm $O, P, M, K$ cùng thuộc một đường tròn đường kính $O M$
b)

Ta có:
$M P=M K$ ( tính chất hai tiếp tuyến căt nhau )
$O P=O K=R$
$ ightarrow O M$ là đường trung trực của $P K$
$ ightarrow P K \perp O M$ tại giao điếm $N$

c) Xét $ riangle O N B$ và $O A M$, ta có:
$\widehat{M O A}$ là góc chung

$$
\begin{aligned}
& \widehat{O N B}=\widehat{O A M}=90^{\circ} \
& ightarrow riangle O N B \sim riangle O A M \quad(g \cdot g) \
& ightarrow \frac{O N}{O A}=\frac{O B}{O M}
\end{aligned}
$$
$ightarrow O A \cdot O B=O M \cdot O N$

$ riangle M P O$ vuông tại $P$ có $P N$ là đường cao $ ightarrow O P^2=O M . O N$ ( hệ thức lượng )

$ightarrow R^2=O M . O N$
Từ (1) và (2), ta được kết quả cuối cùng: $O A \cdot O B=O M . O N=R^2$

Cho (O;R) và 1 điểm A nằm ngoài (O). Từ điểm M chuyển động trên đường thẳng d vuông góc với OA tại A. Vẽ các tiếp tuyến MP,MK với (O), dây PK cắt OM tại N, cắt OA tại B a chứng minh 4 điểm O,P,M,K cùng...