Giupppppppp Câu 6. (2.0 điểm) Cho điểm A nằm ngoài đường tròn (O; R). Từ A, vẽ 2 tiếp tuyến AB, AC và cát tuyến,ADE của (O) sao cho O nằm trong góc EAC.,a) Chứng mimh: $OA\bot BC$ tại H và AB. $AC=AD.AE$,b) Vẽ tiếp tuyến tại E của (O; R) cắt CB ở T. Chứng minh: TD là tiếp tuyến của (O),c) Gọi K là giao điểm của DE và BC và F là trung điểm của DE. Chứng minh: $AD.KE=AE.KD$

Question

Accepted Answer

Bài giải:

a) Chứng minh $OA \perp BC$ tại $H$ và $AB.AC = AD.AE$

* Vì $AB$ và $AC$ là hai tiếp tuyến của đường tròn $(O)$ nên $AB = AC$.

* Xét $ riangle ABO$ và $ riangle ACO$, ta có:

* $OA$ là cạnh chung

* $OB = OC = R$

* $AB = AC$

Suy ra $ riangle ABO = riangle ACO$ (c.c.c)

$\Rightarrow \widehat{BAO} = \widehat{CAO}$.

Vậy $OA$ là đường phân giác của $\widehat{BAC}$.

Mà $AB = AC$ nên $ riangle ABC$ cân tại $A$. Do đó đường phân giác $OA$ đồng thời là đường cao của $ riangle ABC$.

Vậy $OA \perp BC$ tại $H$.

* Xét đường tròn $(O)$, ta có $\widehat{ABD} = \widehat{AED}$ (góc nội tiếp và góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung cùng chắn cung $BD$).

Xét $ riangle ABD$ và $ riangle AEB$, ta có:

* $\widehat{A}$ là góc chung

* $\widehat{ABD} = \widehat{AED}$ (cmt)

Suy ra $ riangle ABD \sim riangle AEB$ (g.g)

$\Rightarrow \dfrac{AB}{AE} = \dfrac{AD}{AB} \Rightarrow AB^2 = AD.AE$.

Mà $AB = AC$ (cmt) nên $AB.AC = AD.AE$.

b) Chứng minh $TD$ là tiếp tuyến của $(O)$

* Vì $E$ là tiếp điểm nên $\widehat{AEO} = 90^\circ \Rightarrow \widehat{AET} = 90^\circ$

* $ riangle ATE$ vuông tại $E$ có $EC$ là đường cao

$\Rightarrow TE^2 = TC.TA$ (hệ thức lượng)

* $AB$ là tiếp tuyến tại $B$ nên $AB^2 = AD.AE$ (cmt)

* $AB = AC$ (tính chất hai tiếp tuyến) $\Rightarrow AC^2 = AD.AE$

$\Rightarrow \dfrac{AC}{AE} = \dfrac{AD}{AC}$

Xét $ riangle ACD$ và $ riangle AEC$ có:

* $\widehat{A}$ là góc chung

* $\dfrac{AC}{AE} = \dfrac{AD}{AC}$ (cmt)

$\Rightarrow riangle ACD \sim riangle AEC$ (c.g.c)

$\Rightarrow \widehat{ACD} = \widehat{AEC}$

* Ta có $\widehat{TEO} = 90^\circ - \widehat{TEC}$

$\widehat{DTO} = \widehat{DTC} + \widehat{TCO}$

* Ta có $\widehat{DTC} = \widehat{TEC} = \widehat{TCD}$

c) Chứng minh $AD.KE = AE.KD$

* $F$ là trung điểm $DE$ nên $FD = FE$

Ta cần chứng minh $\dfrac{AD}{AE} = \dfrac{KD}{KE}$

Xét $ riangle ADE$, ta có:

$\dfrac{AD}{AE} = \dfrac{KD}{KE}$

$\Rightarrow DK$ là đường phân giác góc $\widehat{ADE}$

* Áp dụng định lý Menelaus cho tam giác $ADE$ và cát tuyến $KBC$:

$\dfrac{KA}{KE}.\dfrac{FB}{FD}.\dfrac{DC}{CA} = 1$

$\dfrac{KA}{KE}.\dfrac{DC}{CA} = 1$

$\Rightarrow \dfrac{KA}{KE} = \dfrac{CA}{DC}$

* Áp dụng định lý Menelaus cho tam giác $ABC$ và cát tuyến $KDE$:

$\dfrac{KA}{KC}.\dfrac{CE}{EB}.\dfrac{BD}{DA} = 1$

$\Rightarrow \dfrac{KA}{KC}.\dfrac{CE}{EB}.\dfrac{BD}{DA} = 1$