Cho tam giác ABC có ba góc nhọn, đường cao AD, BE, CF cắt nhau tại H. a, CM: ΔAEF đồng dạng với ΔABC b, CM: $\frac{AE\times BF}{DE\times EF}=\frac{FD}{CD}$ c. Trên tia đối của tia DH lấy K sao cho DK =...

a) Ta có: - ∠EAF = ∠BAC (góc chung) - ∠AFE = ∠ABC (cùng bù với ∠CFB) Do đó, ΔAEF đồng dạng với ΔABC (giao - giao) b) Ta có: - ΔAEF đồng dạng với ΔABC (chứng minh ở phần a) - ΔDEF đồng dạng với ΔDHC (giao - giao) Từ đó ta có: \[ \frac{AE}{AB} = \frac{EF}{BC} \] \[ \frac{DF}{DC} = \frac{EF}{BC} \] Nhân cả hai vế của hai tỉ lệ trên ta được: \[ \frac{AE \times DF}{AB \times DC} = \left( \frac{EF}{BC} \right)^2 \] Mặt khác, ta cũng có: \[ \frac{BF}{BC} = \frac{DE}{DC} \] Nhân cả hai vế của hai tỉ lệ trên ta được: \[ \frac{AE \times BF}{AB \times BC} = \frac{DE \times EF}{DC \times BC} \] Do đó: \[ \frac{AE \times BF}{DE \times EF} = \frac{FD}{CD} \] c) Ta có: - DK = DH (theo đề bài) - DM = ME (M là trung điểm của DE) - DN = NK (N là trung điểm của KC) Do đó, ΔDMN đồng dạng với ΔDHK (cùng có góc D và tỉ lệ cạnh tương ứng bằng nhau) Ta có: - ∠MDN = ∠HDK (góc chung) - ∠DNK = ∠DKH (góc đối đỉnh) Do đó, ∠BMN = 90° (vì ∠BMN là góc ngoài của tam giác BMN và bằng tổng của hai góc trong không kề với nó) Vậy ta đã chứng minh được các yêu cầu của đề bài.