Cho tam giác ABC cân tại A có 2 đường trung tuyến BD và CE cắt nhau tại g biết BD = CE a) Chứng minh tam giác gbc là tam giác cân b) Chứng minh DG + eg lớn hơn 1/2 BG

a) Ta có: - Tam giác ABC cân tại A nên AB = AC. - D và E lần lượt là trung điểm của AC và AB (vì BD và CE là đường trung tuyến). - Do đó, AD = AE (vì D và E là trung điểm của AC và AB). - Tam giác ABD và AEC có AB = AC, AD = AE và góc BAD = góc CAE (góc ở đỉnh A). - Vậy tam giác ABD và AEC bằng nhau (cạnh - góc - cạnh). - Từ đó, BD = CE (cạnh tương ứng của tam giác bằng nhau). - Vì BD = CE và D, E là trung điểm của AC và AB, nên tam giác BGC cân tại G. b) Ta có: - G là trọng tâm của tam giác ABC, do đó G chia mỗi đường trung tuyến thành tỉ lệ 2:1. - Điều này có nghĩa là BG = 2DG và CG = 2EG. - Ta cần chứng minh DG + EG > $\frac{1}{2}$BG. - Vì G là trọng tâm, ta có BG = 2DG, do đó DG = $\frac{1}{3}$BD. - Tương tự, EG = $\frac{1}{3}$CE. - Ta có DG + EG = $\frac{1}{3}$BD + $\frac{1}{3}$CE = $\frac{1}{3}$(BD + CE). - Vì BD = CE, nên BD + CE = 2BD. - Do đó, DG + EG = $\frac{1}{3}$ × 2BD = $\frac{2}{3}$BD. - Ta cũng có BG = 2DG = 2 × $\frac{1}{3}$BD = $\frac{2}{3}$BD. - Vậy DG + EG = $\frac{2}{3}$BD > $\frac{1}{2}$BG. Đáp số: a) Tam giác BGC là tam giác cân tại G. b) DG + EG > $\frac{1}{2}$BG.