Giúp tôi với

Câu 22: Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tính thể tích của phần bên trong bình hoa. 2. Tính thể tích của phần bên ngoài bình hoa. 3. Tính thể tích của phần đất sét cần thiết bằng cách lấy thể tích phần bên ngoài trừ đi thể tích phần bên trong. Bước 1: Tính thể tích của phần bên trong bình hoa Phần bên trong bình hoa là một khối tròn xoay sinh ra từ phần đồ thị của hàm số \( y = -\frac{1}{25}x^2 + x + 4 \) quay xung quanh trục Ox từ \( x = 0 \) đến \( x = 24 \). Thể tích của khối tròn xoay được tính bằng công thức: \[ V_{\text{trong}} = \pi \int_{0}^{24} y^2 \, dx \] Trước tiên, ta tính \( y^2 \): \[ y^2 = \left( -\frac{1}{25}x^2 + x + 4 \right)^2 \] \[ y^2 = \left( -\frac{1}{25}x^2 + x + 4 \right) \left( -\frac{1}{25}x^2 + x + 4 \right) \] \[ y^2 = \left( -\frac{1}{25}x^2 \right)^2 + 2 \left( -\frac{1}{25}x^2 \right)(x) + 2 \left( -\frac{1}{25}x^2 \right)(4) + x^2 + 2(x)(4) + 4^2 \] \[ y^2 = \frac{1}{625}x^4 - \frac{2}{25}x^3 + \frac{16}{25}x^2 + x^2 + 8x + 16 \] \[ y^2 = \frac{1}{625}x^4 - \frac{2}{25}x^3 + \frac{41}{25}x^2 + 8x + 16 \] Bây giờ, ta tính tích phân: \[ V_{\text{trong}} = \pi \int_{0}^{24} \left( \frac{1}{625}x^4 - \frac{2}{25}x^3 + \frac{41}{25}x^2 + 8x + 16 \right) \, dx \] \[ V_{\text{trong}} = \pi \left[ \frac{1}{3125}x^5 - \frac{1}{50}x^4 + \frac{41}{75}x^3 + 4x^2 + 16x \right]_{0}^{24} \] \[ V_{\text{trong}} = \pi \left( \frac{1}{3125}(24)^5 - \frac{1}{50}(24)^4 + \frac{41}{75}(24)^3 + 4(24)^2 + 16(24) \right) \] \[ V_{\text{trong}} = \pi \left( \frac{1}{3125}(7962624) - \frac{1}{50}(331776) + \frac{41}{75}(13824) + 4(576) + 16(24) \right) \] \[ V_{\text{trong}} = \pi \left( 2548.8 - 6635.52 + 7660.8 + 2304 + 384 \right) \] \[ V_{\text{trong}} = \pi (6262.08) \] \[ V_{\text{trong}} \approx 19676.7 \, \text{cm}^3 \] Bước 2: Tính thể tích của phần bên ngoài bình hoa Phần bên ngoài bình hoa là một khối tròn xoay sinh ra từ phần đồ thị của hàm số \( y = -\frac{1}{25}(x-1)^2 + (x-1) + 4 \) quay xung quanh trục Ox từ \( x = 1 \) đến \( x = 25 \). Thể tích của khối tròn xoay được tính bằng công thức: \[ V_{\text{ngoài}} = \pi \int_{1}^{25} y^2 \, dx \] Trước tiên, ta tính \( y^2 \): \[ y = -\frac{1}{25}(x-1)^2 + (x-1) + 4 \] \[ y = -\frac{1}{25}(x^2 - 2x + 1) + x - 1 + 4 \] \[ y = -\frac{1}{25}x^2 + \frac{2}{25}x - \frac{1}{25} + x - 1 + 4 \] \[ y = -\frac{1}{25}x^2 + \frac{27}{25}x + \frac{94}{25} \] Bây giờ, ta tính \( y^2 \): \[ y^2 = \left( -\frac{1}{25}x^2 + \frac{27}{25}x + \frac{94}{25} \right)^2 \] \[ y^2 = \left( -\frac{1}{25}x^2 \right)^2 + 2 \left( -\frac{1}{25}x^2 \right)\left( \frac{27}{25}x \right) + 2 \left( -\frac{1}{25}x^2 \right)\left( \frac{94}{25} \right) + \left( \frac{27}{25}x \right)^2 + 2 \left( \frac{27}{25}x \right)\left( \frac{94}{25} \right) + \left( \frac{94}{25} \right)^2 \] \[ y^2 = \frac{1}{625}x^4 - \frac{54}{625}x^3 + \frac{188}{625}x^2 + \frac{729}{625}x^2 + \frac{4968}{625}x + \frac{8836}{625} \] \[ y^2 = \frac{1}{625}x^4 - \frac{54}{625}x^3 + \frac{917}{625}x^2 + \frac{4968}{625}x + \frac{8836}{625} \] Bây giờ, ta tính tích phân: \[ V_{\text{ngoài}} = \pi \int_{1}^{25} \left( \frac{1}{625}x^4 - \frac{54}{625}x^3 + \frac{917}{625}x^2 + \frac{4968}{625}x + \frac{8836}{625} \right) \, dx \] \[ V_{\text{ngoài}} = \pi \left[ \frac{1}{3125}x^5 - \frac{27}{3125}x^4 + \frac{917}{1875}x^3 + \frac{4968}{1250}x^2 + \frac{8836}{625}x \right]_{1}^{25} \] \[ V_{\text{ngoài}} = \pi \left( \frac{1}{3125}(25)^5 - \frac{27}{3125}(25)^4 + \frac{917}{1875}(25)^3 + \frac{4968}{1250}(25)^2 + \frac{8836}{625}(25) \right) - \pi \left( \frac{1}{3125}(1)^5 - \frac{27}{3125}(1)^4 + \frac{917}{1875}(1)^3 + \frac{4968}{1250}(1)^2 + \frac{8836}{625}(1) \right) \] \[ V_{\text{ngoài}} = \pi \left( 15625 - 16875 + 30583.33 + 24840 + 3534.4 \right) - \pi \left( 0.00032 - 0.00864 + 0.48853 + 3.9744 + 14.1376 \right) \] \[ V_{\text{ngoài}} = \pi (57207.73) - \pi (17.59181) \] \[ V_{\text{ngoài}} = \pi (57190.13819) \] \[ V_{\text{ngoài}} \approx 179707.4 \, \text{cm}^3 \] Bước 3: Tính thể tích của phần đất sét cần thiết Thể tích của phần đất sét cần thiết là: \[ V_{\text{đất sét}} = V_{\text{ngoài}} - V_{\text{trong}} \] \[ V_{\text{đất sét}} = 179707.4 - 19676.7 \] \[ V_{\text{đất sét}} \approx 160030.7 \, \text{cm}^3 \] Vậy, để hoàn thành bình hoa đó ta cần sử dụng khoảng 160031 cm³ đất sét (làm tròn đến hàng đơn vị).