Bài 1. Cho nhọn, có AB < AC, kẻ AH ⊥ BC tại H. a) Chứng minh: ∠ABC > ∠ACB. b) Trên tia đối của tia HA lấy điểm D sao cho H là trung điểm của AD. So sánh AB và CD. c) Gọi I là trung điểm của CD, đường...

Bài 1. a) Ta có: - ∠AHB = 90° (vì AH ⊥ BC) - ∠AHC = 90° (vì AH ⊥ BC) Trong tam giác ABC, ta có: - ∠ABC + ∠ACB + ∠BAC = 180° Trong tam giác AHB, ta có: - ∠ABH + ∠BAH + ∠AHB = 180° - ∠ABH + ∠BAH + 90° = 180° - ∠ABH + ∠BAH = 90° Trong tam giác AHC, ta có: - ∠ACH + ∠CAH + ∠AHC = 180° - ∠ACH + ∠CAH + 90° = 180° - ∠ACH + ∠CAH = 90° Do đó: - ∠ABH + ∠BAH = ∠ACH + ∠CAH Mà ∠BAH = ∠CAH (góc chung), nên: - ∠ABH = ∠ACH Vì AB < AC, nên ∠ABC > ∠ACB (góc đối diện với cạnh dài hơn lớn hơn). b) Ta có: - H là trung điểm của AD, nên AH = HD. Trong tam giác ABD, ta có: - AH = HD (H là trung điểm của AD) - ∠AHB = ∠DHC (đối đỉnh) Do đó, tam giác AHB = tam giác DHC (cạnh huyền - góc nhọn). Vậy AB = CD. c) Ta có: - I là trung điểm của CD, nên CI = ID. Trong tam giác ACD, ta có: - AI là đường trung tuyến, nên AI < $$(AC + CD) Trong tam giác ADE, ta có: - DE // AC, nên ∠ADE = ∠CAD (so le trong) - ∠DAE = ∠CAE (góc chung) Do đó, tam giác ADE = tam giác CAE (góc - cạnh - góc). Vậy AE = CE. Ta có: - AE - AD < AC - CE - AD < AC - (CI + IE) - AD < AC - (ID + IE) - AD < AC - (ID + IE) - (AH + HD) < AC - (ID + IE) - (AH + ID) < AC - IE - AH < AC - IE < AC + AH Vậy AE - AD < AC. Bài 2. a) Ta có: - AB = EB (theo đề bài) - BD là tia phân giác của góc ABC nên góc ABD = góc EBD - BD chung Do đó, theo trường hợp bằng nhau thứ hai (cạnh kề hai góc), ta có ∆ABD = ∆EBD. b) Vì ∆ABD = ∆EBD nên AD = ED. Ta có: - AC = AD + DC - CE = ED + DC Mà theo phần a), ta đã chứng minh được AD = ED, nên ta có: AC = CE + DC Nhưng theo đề bài, CE = AF, do đó: AC = AF + DC Vì AF > 0, nên ta có: DC < AC Vậy AD < DC. c) Ta có: - ∆ABD = ∆EBD (chứng minh ở phần a)) - Do đó, góc ADB = góc EDB - Ta cũng có góc ADB = góc CDE (đối đỉnh) Vậy góc EDB = góc CDE, tức là BD là tia phân giác của góc EDC. Ta có: - AF = CE (theo đề bài) - ∆ABD = ∆EBD (chứng minh ở phần a)), nên AD = ED - Do đó, ∆ADF = ∆EDC (cạnh kề hai góc) Vậy góc AFD = góc ECD. Ta có: - Góc BIF = góc BIC (đối đỉnh) - Góc BFI = góc BCI (góc ngoài của tam giác BCF bằng tổng hai góc trong không kề cạnh) Vậy ∆BIF = ∆BIC (hai góc và cạnh chung giữa chúng bằng nhau). Do đó, IF = IC, tức là BI là đường trung tuyến của ∆BFC. Đáp số: BI là đường trung tuyến của ∆BFC. Bài 3. a) Ta có: AB = AC (ΔABC cân tại A) AH là đường trung tuyến nên H là trung điểm của BC, suy ra BH = HC Mà AB > BH (tổng hai cạnh của tam giác lớn hơn cạnh còn lại) Suy ra: AB > HC b) Ta có: BQ và CP là các đường trung tuyến của ΔABC, chúng cắt nhau tại G. G là trọng tâm của ΔABC, do đó G chia mỗi đường trung tuyến thành tỉ số 2:1, tức là BG = 2GQ và CG = 2GP. Vì BG = CG (do G là trọng tâm và chia đều các đường trung tuyến), suy ra ΔGBC cân tại G. c) Ta có: - Trong ΔBGC, ta có GB + GC > BC (tổng hai cạnh của tam giác lớn hơn cạnh còn lại) - Vì G là trọng tâm, G chia BQ và CP theo tỉ số 2:1, nên GQ = $$BQ và GP = $$CP - Mặt khác, PQ là đường trung bình của ΔABC, nên PQ = $$BC - Do đó, 2PQ = BC - Kết hợp các kết quả trên, ta có: GB + GC > BC = 2PQ - Trong ΔGPQ, ta có GP + GQ > PQ (tổng hai cạnh của tam giác lớn hơn cạnh còn lại) - Vì PQ = $$BC, nên GP + GQ > $$BC Bài 4. a) Ta có: - Tam giác ABC là tam giác đều nên AB = AC = BC. - AH ⊥ BC tại H, do đó tam giác AHB và tam giác AHC là các tam giác vuông cân tại H. - Trong tam giác vuông, cạnh huyền luôn lớn hơn các cạnh góc vuông, do đó AH < AC. b) Ta có: - Trên tia đối của tia BA lấy điểm D sao cho BD = BA, trên tia đối của tia CA lấy điểm E sao cho CA = CE. - Xét tam giác BQD và tam giác CQE: + BD = BA = CE (theo đề bài) + BQ = CQ (vì BQ và CQ là các đoạn thẳng cắt nhau tại Q) + ∠BQD = ∠CQE (hai góc đối đỉnh) - Do đó, tam giác BQD = tam giác CQE (cạnh - góc - cạnh). - Từ đó, ta có QD = QE. c) Ta có: - AH ⊥ BC tại H, do đó AH là đường cao của tam giác ABC. - Vì tam giác ABC là tam giác đều, nên AH cũng là đường trung tuyến của tam giác ABC, tức là H là trung điểm của BC. - Trên tia đối của tia BA lấy điểm D sao cho BD = BA, trên tia đối của tia CA lấy điểm E sao cho CA = CE. - Ta thấy rằng D và E nằm trên tia đối của tia BA và tia CA, do đó AD = AE. - AH là đường trung tuyến của tam giác ABC, do đó AH cũng là đường trung tuyến của tam giác ADE, tức là H là trung điểm của DE. Vậy AH là đường trung tuyến của tam giác ADE.