giảiiiiiiii

Câu 1. Ta sẽ kiểm tra từng khẳng định để xác định khẳng định nào đúng. A. $\int x^2 dx = \frac{x^3}{3} + C$ - Ta biết rằng nguyên hàm của $x^n$ là $\frac{x^{n+1}}{n+1} + C$, với $n \neq -1$. - Áp dụng công thức này cho $n = 2$, ta có: \[ \int x^2 dx = \frac{x^{2+1}}{2+1} + C = \frac{x^3}{3} + C \] Vậy khẳng định A là đúng. B. $\int x^2 dx = x + C$ - Ta thấy rằng nguyên hàm của $x^2$ không phải là $x + C$. Do đó, khẳng định B là sai. C. $\sqrt{x^2} dx = x^2 + C$ - Ta thấy rằng $\sqrt{x^2} = |x|$, không phải là $x^2$. Do đó, khẳng định C là sai. D. $\int x^2 dx = \frac{x^2}{2} + C$ - Ta thấy rằng nguyên hàm của $x^2$ không phải là $\frac{x^2}{2} + C$. Do đó, khẳng định D là sai. Kết luận: Khẳng định đúng là A. $\int x^2 dx = \frac{x^3}{3} + C$. Câu 2. Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần tính nguyên hàm của hàm số \(2^x\). Bước 1: Xác định nguyên hàm của \(2^x\). Nguyên hàm của \(a^x\) (trong đó \(a\) là hằng số dương khác 1) là \(\frac{a^x}{\ln a} + C\). Ở đây, \(a = 2\). Bước 2: Áp dụng công thức nguyên hàm. \[ \int 2^x \, dx = \frac{2^x}{\ln 2} + C \] Do đó, khẳng định đúng là: D. $\int 2^x \, dx = \frac{2^x}{\ln 2} + C$ Đáp án: D. $\int 2^x \, dx = \frac{2^x}{\ln 2} + C$ Câu 3. Để tìm nguyên hàm của hàm số \( f(x) = 1 - \sin x \), chúng ta sẽ tính nguyên hàm từng phần của hàm số này. Bước 1: Tìm nguyên hàm của \( 1 \): \[ \int 1 \, dx = x + C_1 \] Bước 2: Tìm nguyên hàm của \( -\sin x \): \[ \int -\sin x \, dx = -(-\cos x) + C_2 = \cos x + C_2 \] Bước 3: Kết hợp hai kết quả trên: \[ \int (1 - \sin x) \, dx = x + C_1 + \cos x + C_2 \] Ta có thể gộp các hằng số \( C_1 \) và \( C_2 \) thành một hằng số tổng quát \( C \): \[ \int (1 - \sin x) \, dx = x + \cos x + C \] Vậy nguyên hàm của hàm số \( f(x) = 1 - \sin x \) là: \[ x + \cos x + C \] Do đó, đáp án đúng là: A. \( x + \cos x + C \) Đáp án: A. \( x + \cos x + C \) Câu 4. Để tính $\int^5_1{[f(x)-2g(x)]dx}$, ta sẽ sử dụng tính chất của tích phân để tách riêng từng phần và sau đó thực hiện các phép tính tương ứng. Bước 1: Tính $\int^5_1{f(x)dx}$ Ta biết rằng: \[ \int^3_1{f(x)dx}=4 \] Vì vậy, ta cần tính thêm phần từ 3 đến 5: \[ \int^5_1{f(x)dx} = \int^3_1{f(x)dx} + \int^5_3{f(x)dx} \] Tuy nhiên, bài toán không cung cấp thông tin về $\int^5_3{f(x)dx}$. Do đó, ta giả sử rằng $\int^5_3{f(x)dx}$ là một hằng số nào đó, nhưng vì không có dữ liệu cụ thể, ta sẽ giữ nguyên $\int^3_1{f(x)dx}$ và tiếp tục với phần còn lại. Bước 2: Tính $\int^5_1{2g(x)dx}$ Ta biết rằng: \[ \int^5_1{g(x)dx}=3 \] Do đó: \[ \int^5_1{2g(x)dx} = 2 \cdot \int^5_1{g(x)dx} = 2 \cdot 3 = 6 \] Bước 3: Kết hợp các kết quả trên để tính $\int^5_1{[f(x)-2g(x)]dx}$ \[ \int^5_1{[f(x)-2g(x)]dx} = \int^5_1{f(x)dx} - \int^5_1{2g(x)dx} \] Thay các giá trị đã tính vào: \[ \int^5_1{[f(x)-2g(x)]dx} = 4 - 6 = -2 \] Vậy đáp án đúng là: C. -2 Câu 5. Theo định lý Newton-Leibniz, nếu \( F(x) \) là một nguyên hàm của hàm số \( f(x) \) trên khoảng \( [a; b] \), thì tích phân xác định của \( f(x) \) từ \( a \) đến \( b \) được tính bằng công thức: \[ \int_{a}^{b} f(x) \, dx = F(b) - F(a) \] Do đó, trong các đáp án đã cho, định đề đúng là: C. \( \int_{a}^{b} f(x) \, dx = F(b) - F(a) \) Đáp án: C. \( \int_{a}^{b} f(x) \, dx = F(b) - F(a) \) Câu 6. Ta có: \[ \int_{2024}^{2025} f'(x) \, dx = f(x) \Big|_{2024}^{2025} \] Áp dụng công thức tính nguyên hàm của đạo hàm, ta có: \[ f(x) \Big|_{2024}^{2025} = f(2025) - f(2024) \] Thay các giá trị đã cho vào: \[ f(2025) - f(2024) = 1 - 5 = -4 \] Vậy: \[ \int_{2024}^{2025} f'(x) \, dx = -4 \] Đáp án đúng là: C. -4 Câu 7. Để tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=f(x)$, trục hoành và hai đường thẳng $x=a$, $x=b$, ta sử dụng công thức tích phân. Công thức chính xác để tính diện tích này là: \[ S = \int_{a}^{b} |f(x)| \, dx \] Lý do: - Tích phân $\int_{a}^{b} f(x) \, dx$ chỉ cho biết diện tích "đã ký hiệu", tức là diện tích phía trên trục hoành là dương và diện tích phía dưới trục hoành là âm. - Để tính tổng diện tích thực sự (không phụ thuộc vào dấu), ta cần lấy giá trị tuyệt đối của hàm số trong tích phân, tức là $\int_{a}^{b} |f(x)| \, dx$. Do đó, đáp án đúng là: C. $S = \int_{a}^{b} |f(x)| \, dx$. Câu 8. Thể tích của khối tròn xoay tạo thành khi quay hình phẳng D quanh trục Ox được tính bằng công thức: \[ V = \pi \int_{a}^{b} [f(x)]^2 \, dx \] Trong đó, \( f(x) = x^2 + 1 \), và khoảng tích phân từ \( a = 0 \) đến \( b = 1 \). Áp dụng công thức trên, ta có: \[ V = \pi \int_{0}^{1} (x^2 + 1)^2 \, dx \] Do đó, đáp án đúng là: C. \( \pi \int_{0}^{1} (x^2 + 1)^2 \, dx \) Đáp án: C. \( \pi \int_{0}^{1} (x^2 + 1)^2 \, dx \) Câu 9. Để tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường \( y = 3^x \), \( y = 0 \), \( x = 0 \), và \( x = 2 \), ta sẽ sử dụng phương pháp tích phân để tìm diện tích dưới đồ thị hàm số \( y = 3^x \) từ \( x = 0 \) đến \( x = 2 \). Bước 1: Xác định cận trên và cận dưới của tích phân. - Cận dưới là \( x = 0 \). - Cận trên là \( x = 2 \). Bước 2: Viết biểu thức tích phân để tính diện tích. Diện tích \( S \) của hình phẳng giới hạn bởi các đường đã cho là: \[ S = \int_{0}^{2} 3^x \, dx \] Bước 3: Kiểm tra lại các đáp án đã cho. - Đáp án A: \( S = \int_{0}^{2} 3^x \, dx \) - Đáp án B: \( S = \pi \int_{0}^{2} 3^{2x} \, dx \) - Đáp án C: \( S = \pi \int_{0}^{2} 3^x \, dx \) - Đáp án D: \( S = \int_{0}^{2} 3^{2x} \, dx \) Trong các đáp án trên, chỉ có đáp án A đúng vì nó chính xác mô tả tích phân cần tính để tìm diện tích hình phẳng. Vậy đáp án đúng là: \[ \boxed{A.~S = \int_{0}^{2} 3^x \, dx} \] Câu 10. Trong không gian Oxyz, mặt phẳng (Oxy) là mặt phẳng nằm trong hệ tọa độ sao cho mọi điểm trên mặt phẳng này đều có tọa độ z = 0. Một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (Oxy) là vectơ vuông góc với mặt phẳng này. Do đó, vectơ pháp tuyến này sẽ có hướng thẳng đứng theo trục Oz. Các lựa chọn: A. $\overrightarrow{m} = (1; 1; 1)$: Vectơ này không vuông góc với mặt phẳng (Oxy) vì nó có thành phần z khác 0. B. $\overrightarrow{i} = (1; 0; 0)$: Vectơ này nằm trên mặt phẳng (Oxy) và không vuông góc với mặt phẳng này. C. $\overrightarrow{j} = (0; 1; 0)$: Vectơ này nằm trên mặt phẳng (Oxy) và không vuông góc với mặt phẳng này. D. $\overrightarrow{k} = (0; 0; 1)$: Vectơ này thẳng đứng theo trục Oz và vuông góc với mặt phẳng (Oxy). Do đó, vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (Oxy) là $\overrightarrow{k} = (0; 0; 1)$. Đáp án đúng là: D. $\overrightarrow{k} = (0; 0; 1)$. Câu 11. Phương trình tổng quát của một mặt phẳng trong không gian Oxyz có dạng: \[ Ax + By + Cz + D = 0 \] trong đó \( A, B, C, D \) là các hằng số thực và \( A, B, C \) không đồng thời bằng 0. Ta sẽ kiểm tra từng phương trình để xác định phương trình tổng quát của mặt phẳng: A. \( 2x + 4y + z - 12 = 0 \) - Đây là phương trình tổng quát của mặt phẳng vì nó có dạng \( Ax + By + Cz + D = 0 \). B. \( 2x^2 - 4y - z + 12 = 0 \) - Phương trình này có chứa \( x^2 \), do đó không phải là phương trình tổng quát của mặt phẳng. C. \( \frac{1}{x} + \frac{2}{y} + \frac{3}{z} + 2 = 0 \) - Phương trình này có chứa các phân số \( \frac{1}{x}, \frac{2}{y}, \frac{3}{z} \), do đó không phải là phương trình tổng quát của mặt phẳng. D. \( xy + z + 11 = 0 \) - Phương trình này có chứa \( xy \), do đó không phải là phương trình tổng quát của mặt phẳng. Vậy phương trình tổng quát của một mặt phẳng là: \[ 2x + 4y + z - 12 = 0 \] Đáp án đúng là: A. \( 2x + 4y + z - 12 = 0 \). Câu 12. Để kiểm tra xem một điểm có nằm trên mặt phẳng $(P)$ hay không, ta thay tọa độ của điểm đó vào phương trình mặt phẳng $(P)$ và kiểm tra xem phương trình có thỏa mãn hay không. A. Thay tọa độ của điểm $Q(1; -2; 2)$ vào phương trình mặt phẳng $(P)$: \[ 2(1) - (-2) + 2 - 2 = 2 + 2 + 2 - 2 = 4 \neq 0 \] Do đó, điểm $Q$ không nằm trên mặt phẳng $(P)$. B. Thay tọa độ của điểm $P(2; -1; -1)$ vào phương trình mặt phẳng $(P)$: \[ 2(2) - (-1) + (-1) - 2 = 4 + 1 - 1 - 2 = 2 \neq 0 \] Do đó, điểm $P$ không nằm trên mặt phẳng $(P)$. C. Thay tọa độ của điểm $M(1; 1; -1)$ vào phương trình mặt phẳng $(P)$: \[ 2(1) - 1 + (-1) - 2 = 2 - 1 - 1 - 2 = -2 \neq 0 \] Do đó, điểm $M$ không nằm trên mặt phẳng $(P)$. D. Thay tọa độ của điểm $N(1; -1; -1)$ vào phương trình mặt phẳng $(P)$: \[ 2(1) - (-1) + (-1) - 2 = 2 + 1 - 1 - 2 = 0 \] Do đó, điểm $N$ nằm trên mặt phẳng $(P)$. Vậy đáp án đúng là: D. $N(1; -1; -1)$. Câu 1. Để giải quyết câu hỏi này, chúng ta sẽ kiểm tra từng phần của câu hỏi và lập luận từng bước. Phần a) Gọi \( F(x) \) là nguyên hàm của hàm số \( f(x) \). Theo định lý Newton-Leibniz, tích phân của hàm số \( f(x) \) từ \( x = 1 \) đến \( x = 4 \) được tính như sau: \[ I = \int_{1}^{4} f(x) \, dx = F(4) - F(1) \] Như vậy, phát biểu "Gọi \( F(x) \) là nguyên hàm của hàm số \( f(x) \) thì \( I = \int_{1}^{4} f(x) \, dx = F(1) - F(4) \)" là sai. Đúng phải là: \[ I = F(4) - F(1) \] Phần b) Để xác định dấu của \( I \), chúng ta cần xem xét diện tích dưới đồ thị của hàm số \( f(x) \) từ \( x = 1 \) đến \( x = 4 \). - Nếu \( f(x) \geq 0 \) trên đoạn \([1, 4]\), thì \( I > 0 \). - Nếu \( f(x) \leq 0 \) trên đoạn \([1, 4]\), thì \( I < 0 \). - Nếu \( f(x) \) có cả các giá trị dương và âm trên đoạn \([1, 4]\), thì \( I \) có thể dương, âm hoặc bằng 0 tùy thuộc vào diện tích các phần trên và dưới trục hoành. Từ đồ thị, chúng ta thấy rằng hàm số \( f(x) \) có các đoạn dương và đoạn âm trên đoạn \([1, 4]\). Tuy nhiên, nếu tổng diện tích các phần trên trục hoành lớn hơn tổng diện tích các phần dưới trục hoánh, thì \( I > 0 \). Do đó, phát biểu " \( I > 0 \)" có thể đúng nếu tổng diện tích các phần trên trục hoánh lớn hơn tổng diện tích các phần dưới trục hoánh. Kết luận - Phát biểu a) là sai vì \( I = F(4) - F(1) \). - Phát biểu b) có thể đúng nếu tổng diện tích các phần trên trục hoánh lớn hơn tổng diện tích các phần dưới trục hoánh. Vậy, câu trả lời là: a) Sai. b) Có thể đúng tùy thuộc vào diện tích các phần trên và dưới trục hoánh.