Giải nhanh

Bài 5. Để tìm nghiệm nguyên của phương trình $2xy - x + y = 3$, ta sẽ thực hiện các bước sau: Bước 1: Chuyển vế để nhóm các hạng tử liên quan đến $y$ lại với nhau: \[ 2xy + y = x + 3 \] Bước 2: Nhân cả hai vế với 2 để dễ dàng nhóm các hạng tử: \[ 4xy + 2y = 2x + 6 \] Bước 3: Nhóm các hạng tử liên quan đến $y$ lại với nhau: \[ y(4x + 2) = 2x + 6 \] Bước 4: Chia cả hai vế cho $(4x + 2)$ (chú ý rằng $4x + 2 \neq 0$): \[ y = \frac{2x + 6}{4x + 2} \] Bước 5: Rút gọn phân số: \[ y = \frac{2(x + 3)}{2(2x + 1)} = \frac{x + 3}{2x + 1} \] Bước 6: Để $y$ là số nguyên, phân số $\frac{x + 3}{2x + 1}$ phải là số nguyên. Do đó, $2x + 1$ phải là ước của $x + 3$. Ta xét các trường hợp: - Trường hợp 1: $2x + 1 = 1$ \[ 2x + 1 = 1 \Rightarrow 2x = 0 \Rightarrow x = 0 \] Thay $x = 0$ vào phương trình: \[ y = \frac{0 + 3}{2 \cdot 0 + 1} = 3 \] Vậy $(x, y) = (0, 3)$ là một nghiệm. - Trường hợp 2: $2x + 1 = -1$ \[ 2x + 1 = -1 \Rightarrow 2x = -2 \Rightarrow x = -1 \] Thay $x = -1$ vào phương trình: \[ y = \frac{-1 + 3}{2 \cdot (-1) + 1} = \frac{2}{-1} = -2 \] Vậy $(x, y) = (-1, -2)$ là một nghiệm. - Trường hợp 3: $2x + 1 = x + 3$ \[ 2x + 1 = x + 3 \Rightarrow x = 2 \] Thay $x = 2$ vào phương trình: \[ y = \frac{2 + 3}{2 \cdot 2 + 1} = \frac{5}{5} = 1 \] Vậy $(x, y) = (2, 1)$ là một nghiệm. - Trường hợp 4: $2x + 1 = -(x + 3)$ \[ 2x + 1 = -x - 3 \Rightarrow 3x = -4 \Rightarrow x = -\frac{4}{3} \] Vì $x$ không là số nguyên nên trường hợp này bị loại. Vậy nghiệm nguyên của phương trình $2xy - x + y = 3$ là: \[ (x, y) = (0, 3), (-1, -2), (2, 1) \]