giúp voi ạ

Câu 12: Để tìm phương trình mặt phẳng (MNP) đi qua ba điểm M(3, -1, 2), N(4, -1, -1), P(2, 0, 2), ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Tìm hai vectơ trong mặt phẳng (MNP) - Vectơ $\overrightarrow{MN} = (4 - 3, -1 + 1, -1 - 2) = (1, 0, -3)$ - Vectơ $\overrightarrow{MP} = (2 - 3, 0 + 1, 2 - 2) = (-1, 1, 0)$ Bước 2: Tính vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (MNP) bằng tích vector của $\overrightarrow{MN}$ và $\overrightarrow{MP}$ - $\overrightarrow{n} = \overrightarrow{MN} \times \overrightarrow{MP} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & 0 & -3 \\ -1 & 1 & 0 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(0 \cdot 0 - (-3) \cdot 1) - \mathbf{j}(1 \cdot 0 - (-3) \cdot (-1)) + \mathbf{k}(1 \cdot 1 - 0 \cdot (-1))$ - $\overrightarrow{n} = \mathbf{i}(3) - \mathbf{j}(3) + \mathbf{k}(1) = (3, -3, 1)$ Bước 3: Viết phương trình mặt phẳng (MNP) với vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n} = (3, -3, 1)$ và đi qua điểm M(3, -1, 2) - Phương trình mặt phẳng có dạng: $3(x - 3) - 3(y + 1) + 1(z - 2) = 0$ - Rút gọn phương trình: $3x - 9 - 3y - 3 + z - 2 = 0$ $3x - 3y + z - 14 = 0$ Nhưng ta thấy rằng phương trình này không khớp với bất kỳ đáp án nào đã cho. Do đó, ta kiểm tra lại các phép tính và phương trình đã cho để đảm bảo không có lỗi. Kiểm tra lại các phương trình đã cho: A. $3x + 3y - z - 8 = 0$ B. $3x - 2y + z - 8 = 0$ C. $3x + 3y - z + 8 = 0$ D. $3x + 3y + z - 8 = 0$ Ta thử thay các điểm M, N, P vào các phương trình trên để kiểm tra: - Thử điểm M(3, -1, 2): A. $3(3) + 3(-1) - 2 - 8 = 9 - 3 - 2 - 8 = -4$ (không thỏa mãn) B. $3(3) - 2(-1) + 2 - 8 = 9 + 2 + 2 - 8 = 5$ (không thỏa mãn) C. $3(3) + 3(-1) - 2 + 8 = 9 - 3 - 2 + 8 = 12$ (không thỏa mãn) D. $3(3) + 3(-1) + 2 - 8 = 9 - 3 + 2 - 8 = 0$ (thỏa mãn) Do đó, phương trình đúng là: D. $3x + 3y + z - 8 = 0$ Đáp án: D. $3x + 3y + z - 8 = 0$ Câu 13: Ta sẽ kiểm tra từng khẳng định một để xác định khẳng định nào là sai. A. $\int 0 \, dx = C$ - Đây là khẳng định đúng vì tích phân của hằng số 0 là một hằng số C. B. $\int x^4 \, dx = \frac{x^5}{5} + C$ - Đây là khẳng định đúng vì theo công thức tích phân cơ bản, $\int x^n \, dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C$ với $n \neq -1$. Trong trường hợp này, $n = 4$, nên $\int x^4 \, dx = \frac{x^5}{5} + C$. C. $\int \frac{1}{x} \, dx = \ln |x| + C$ - Đây là khẳng định đúng vì tích phân của $\frac{1}{x}$ là $\ln |x| + C$. D. $\int e^x \, dx = e^{x^2} + C$ - Đây là khẳng định sai vì tích phân của $e^x$ là $e^x + C$, không phải $e^{x^2} + C$. Vậy khẳng định sai là: D. $\int e^x \, dx = e^{x^2} + C$ Đáp án: D. Câu 14: Để tính $\int x^2 dx$, ta áp dụng công thức nguyên hàm cơ bản. Công thức nguyên hàm của $x^n$ là: \[ \int x^n dx = \frac{x^{n+1}}{n+1} + C \] Trong đó, $n$ là số thực khác -1 và $C$ là hằng số nguyên hàm. Áp dụng vào bài toán: \[ n = 2 \] \[ \int x^2 dx = \frac{x^{2+1}}{2+1} + C = \frac{x^3}{3} + C \] Vậy đáp án đúng là: B. $\frac{1}{3}x^3 + C$ Đáp số: B. $\frac{1}{3}x^3 + C$. Câu 15: Để kiểm tra các khẳng định, chúng ta sẽ xem xét từng khẳng định một. A. $\int \frac{1}{x} dx = \ln |x| + C$ Khẳng định này đúng vì tích phân của $\frac{1}{x}$ là $\ln |x| + C$. Lưu ý rằng chúng ta cần thêm dấu giá trị tuyệt đối để đảm bảo tính đúng đắn trong cả miền âm và dương của $x$. B. $\int x^a dx = \frac{1}{a+1} x^{a+1} + C; (a \neq -1)$ Khẳng định này cũng đúng. Đây là công thức tích phân cơ bản của hàm lũy thừa $x^a$, với điều kiện $a \neq -1$ để tránh trường hợp chia cho 0. C. $\int dx = x + C$ Khẳng định này đúng. Tích phân của 1 với biến $x$ là $x + C$. D. $\int 0 dx = C$ Khẳng định này đúng. Tích phân của 0 là hằng số $C$. Như vậy, tất cả các khẳng định đều đúng. Do đó, không có khẳng định nào sai trong các lựa chọn đã cho. Đáp án: Không có khẳng định nào sai. Câu 16: Câu hỏi yêu cầu chúng ta xác định khẳng định sai trong các lựa chọn về tính chất của tích phân. Chúng ta sẽ kiểm tra từng khẳng định một. A. $\int^b_a f(x) dx = F(x) |^b_a = F(b) - F(a).$ Theo định lý Newton-Leibniz, tích phân xác định của hàm số liên tục $f(x)$ từ $a$ đến $b$ bằng hiệu giữa giá trị của nguyên hàm $F(x)$ tại $b$ và tại $a$. Do đó, khẳng định này đúng. B. $\int^a_a f(x) dx = 0.$ Tích phân xác định của bất kỳ hàm số liên tục nào từ một điểm đến chính điểm đó luôn bằng 0. Do đó, khẳng định này cũng đúng. C. $\int^b_a f(x) dx = f'(x) |^a_b = f'(b) - f'(a).$ Khẳng định này sai vì tích phân xác định của $f(x)$ từ $a$ đến $b$ không phải là hiệu giữa giá trị của đạo hàm $f'(x)$ tại $b$ và tại $a$. Tích phân xác định của $f(x)$ từ $a$ đến $b$ bằng hiệu giữa giá trị của nguyên hàm $F(x)$ tại $b$ và tại $a$, không phải đạo hàm của $f(x)$. D. $\int^b_a f(x) dx = -\int^a_b f(t) dt.$ Theo tính chất của tích phân, tích phân xác định của $f(x)$ từ $a$ đến $b$ bằng âm của tích phân xác định của $f(t)$ từ $b$ đến $a$. Do đó, khẳng định này đúng. Vậy khẳng định sai là: C. $\int^b_a f(x) dx = f'(x) |^a_b = f'(b) - f'(a).$ Đáp án: C. Câu 17: Để tính $\int^1_0 f(x) dx$, ta sử dụng tính chất của tích phân: \[ \int^2_0 f(x) dx = \int^2_1 f(x) dx + \int^1_0 f(x) dx \] Ta đã biết: \[ \int^2_0 f(x) dx = -2 \] \[ \int^2_1 f(x) dx = -4 \] Thay vào công thức trên, ta có: \[ -2 = -4 + \int^1_0 f(x) dx \] Giải phương trình này để tìm $\int^1_0 f(x) dx$: \[ \int^1_0 f(x) dx = -2 + 4 = 2 \] Vậy đáp án đúng là: B. 2 Đáp số: B. 2 Câu 18: Để tính $\int^b_a [f(x) + 2g(x)] dx$, ta sử dụng tính chất tuyến tính của tích phân: \[ \int^b_a [f(x) + 2g(x)] dx = \int^b_a f(x) dx + 2 \int^b_a g(x) dx \] Ta đã biết: \[ \int^b_a f(x) dx = 5 \] \[ \int^b_a g(x) dx = -4 \] Thay các giá trị này vào công thức trên: \[ \int^b_a [f(x) + 2g(x)] dx = 5 + 2(-4) \] Tính toán tiếp: \[ 5 + 2(-4) = 5 - 8 = -3 \] Vậy, $\int^b_a [f(x) + 2g(x)] dx = -3$. Đáp án đúng là: C. -3. Câu 19: Để tính thể tích khối tròn xoay được tạo thành khi quay hình phẳng D quanh trục hoành, ta áp dụng công thức thể tích khối tròn xoay. Công thức thể tích khối tròn xoay khi quay một hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số \( y = f(x) \), trục hoành và hai đường thẳng \( x = a \) và \( x = b \) quanh trục hoành là: \[ V = \pi \int_{a}^{b} [f(x)]^2 \, dx \] Trong đó: - \( \pi \) là hằng số pi. - \( \int_{a}^{b} [f(x)]^2 \, dx \) là tích phân của bình phương hàm số \( f(x) \) từ \( x = a \) đến \( x = b \). Do đó, đáp án đúng là: A. \( V = \pi \int_{a}^{b} [f(x)]^2 \, dx \) Lập luận từng bước: 1. Xác định hình phẳng D giới hạn bởi đồ thị hàm số \( y = f(x) \), trục hoành và hai đường thẳng \( x = a \) và \( x = b \). 2. Áp dụng công thức thể tích khối tròn xoay khi quay hình phẳng D quanh trục hoành. 3. Kết luận thể tích khối tròn xoay là \( V = \pi \int_{a}^{b} [f(x)]^2 \, dx \). Đáp án: A. \( V = \pi \int_{a}^{b} [f(x)]^2 \, dx \) Câu 20: Để tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đường thẳng \( x = 0 \), \( x = \pi \), đồ thị hàm số \( y = \cos x \) và trục Ox, chúng ta cần xác định phần diện tích mà biểu thức tích phân sẽ tính toán. 1. Xác định khoảng tích phân: - Khoảng tích phân từ \( x = 0 \) đến \( x = \pi \). 2. Xác định hàm số: - Hàm số là \( y = \cos x \). 3. Xác định dấu của hàm số trong khoảng tích phân: - Từ \( x = 0 \) đến \( x = \frac{\pi}{2} \), \( \cos x \geq 0 \). - Từ \( x = \frac{\pi}{2} \) đến \( x = \pi \), \( \cos x \leq 0 \). 4. Tính diện tích: - Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số và trục Ox là tích phân của giá trị tuyệt đối của hàm số \( \cos x \) trong khoảng từ \( x = 0 \) đến \( x = \pi \). Do đó, diện tích \( S \) được tính bằng: \[ S = \int_{0}^{\pi} |\cos x| \, dx \] Vậy đáp án đúng là: C. \( S = \int_{0}^{\pi} |\cos x| \, dx \). Câu 21: Để tìm thể tích \( V \) của khối tròn xoay được tạo thành khi cho hình phẳng giới hạn bởi các đường \( y = e^x \), \( y = 0 \), \( x = 0 \), và \( x = 2 \) quay quanh trục \( Ox \), ta sử dụng công thức tính thể tích khối tròn xoay: \[ V = \pi \int_{a}^{b} [f(x)]^2 \, dx \] Trong đó: - \( f(x) = e^x \) - Giới hạn tích phân từ \( x = 0 \) đến \( x = 2 \) Áp dụng vào công thức trên, ta có: \[ V = \pi \int_{0}^{2} (e^x)^2 \, dx \] \[ V = \pi \int_{0}^{2} e^{2x} \, dx \] Do đó, phát biểu đúng là: A. \( V = \pi \int_{0}^{2} e^{2x} \, dx \) Vậy đáp án đúng là: A. \( V = \pi \int_{0}^{2} e^{2x} \, dx \)