giải giúp mình

Câu 6: Để xác định mệnh đề đúng trong các mệnh đề đã cho, chúng ta sẽ kiểm tra từng điều kiện và tính chất của hàm số logarit. A. $\log_ab^\alpha=\alpha\log_ab$ với mọi số thực dương a, b và $a\ne1.$ - Điều kiện: a và b là số thực dương, $a\ne1$. - Tính chất: Đây là tính chất cơ bản của hàm số logarit, $\log_a(b^\alpha) = \alpha \cdot \log_a(b)$. B. $\log_ab^a=\alpha\log_ab$ với mọi số thực dương a, b. - Điều kiện: a và b là số thực dương. - Tính chất: Đây không phải là tính chất chuẩn của hàm số logarit. Đúng phải là $\log_a(b^a) = a \cdot \log_a(b)$. C. $\log_ab^\alpha=\alpha\log_ab$ với mọi số thực a, b. - Điều kiện: a và b là số thực. - Tính chất: Đây không phải là tính chất chuẩn của hàm số logarit vì nó không đảm bảo rằng a và b phải là số thực dương và $a\ne1$. D. $\log_ab^\alpha=\alpha\log_ab$ với mọi số thực a, b và $a\ne1.$ - Điều kiện: a và b là số thực, $a\ne1$. - Tính chất: Đây không phải là tính chất chuẩn của hàm số logarit vì nó không đảm bảo rằng a và b phải là số thực dương. Từ các phân tích trên, chúng ta thấy rằng chỉ có mệnh đề A đúng theo điều kiện và tính chất của hàm số logarit. Vậy đáp án đúng là: A. $\log_ab^\alpha=\alpha\log_ab$ với mọi số thực dương a, b và $a\ne1.$ Câu 7: Để xác định mệnh đề đúng với mọi số thực dương \(x\) và \(y\), chúng ta sẽ kiểm tra từng lựa chọn dựa trên các tính chất của hàm logarit. A. \(\log_a \frac{x}{y} = \log_a x - \log_a y\) Theo tính chất của hàm logarit, ta có: \[ \log_a \left( \frac{x}{y} \right) = \log_a x - \log_a y \] Đây là một tính chất đúng của hàm logarit. B. \(\log_a \frac{x}{y} = \log_a x + \log_a y\) Theo tính chất của hàm logarit, ta có: \[ \log_a (xy) = \log_a x + \log_a y \] Nhưng \(\log_a \left( \frac{x}{y} \right)\) không bằng \(\log_a x + \log_a y\). C. \(\log_a \frac{x}{y} = \frac{\log_a x}{\log_a y}\) Theo tính chất của hàm logarit, ta có: \[ \log_a \left( \frac{x}{y} \right) \neq \frac{\log_a x}{\log_a y} \] D. \(\log_a \frac{x}{y} = \log_a (x - y)\) Theo tính chất của hàm logarit, ta có: \[ \log_a \left( \frac{x}{y} \right) \neq \log_a (x - y) \] Từ các phân tích trên, ta thấy rằng chỉ có mệnh đề A là đúng. Vậy đáp án đúng là: A. \(\log_a \frac{x}{y} = \log_a x - \log_a y\). Câu 8: Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng các tính chất của logarit để biến đổi biểu thức $\log_3(9a)$. Bước 1: Áp dụng tính chất logarit $\log_b(xy) = \log_bx + \log_by$: \[ \log_3(9a) = \log_39 + \log_3a \] Bước 2: Biết rằng $9 = 3^2$, nên ta có thể viết lại $\log_39$ như sau: \[ \log_39 = \log_3(3^2) \] Bước 3: Áp dụng tính chất logarit $\log_b(b^c) = c$: \[ \log_3(3^2) = 2 \] Bước 4: Kết hợp các kết quả từ các bước trên: \[ \log_3(9a) = 2 + \log_3a \] Vậy đáp án đúng là: D. $2 + \log_3a$. Câu 9: Để giải bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng tính chất của lôgarit. Cụ thể, theo tính chất của lôgarit, ta có: \[ \log_b(a^n) = n \cdot \log_b(a) \] Áp dụng tính chất này vào bài toán, ta có: \[ \log_5(a^3) = 3 \cdot \log_5(a) \] Do đó, đáp án đúng là: D. $3 \log_5 a$ Đáp số: D. $3 \log_5 a$ Câu 10: Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Tìm giá trị của \(a\) và \(b\): Ta có \(a^2 + b^2 = 7ab\). 2. Chia cả hai vế cho \(ab\): \[ \frac{a^2}{ab} + \frac{b^2}{ab} = 7 \implies \frac{a}{b} + \frac{b}{a} = 7 \] 3. Gọi \(t = \frac{a}{b}\): \[ t + \frac{1}{t} = 7 \] Nhân cả hai vế với \(t\): \[ t^2 + 1 = 7t \implies t^2 - 7t + 1 = 0 \] 4. Giải phương trình bậc hai: \[ t = \frac{7 \pm \sqrt{49 - 4}}{2} = \frac{7 \pm \sqrt{45}}{2} = \frac{7 \pm 3\sqrt{5}}{2} \] Vì \(a > 0\) và \(b > 0\), ta chọn \(t = \frac{7 + 3\sqrt{5}}{2}\). 5. Tính \(a + b\): \[ a = tb \implies a + b = tb + b = b(t + 1) \] Thay \(t = \frac{7 + 3\sqrt{5}}{2}\): \[ a + b = b \left( \frac{7 + 3\sqrt{5}}{2} + 1 \right) = b \left( \frac{9 + 3\sqrt{5}}{2} \right) \] 6. Tính \(\frac{a + b}{2}\): \[ \frac{a + b}{2} = \frac{b \left( \frac{9 + 3\sqrt{5}}{2} \right)}{2} = b \left( \frac{9 + 3\sqrt{5}}{4} \right) \] 7. Tính \(\log_7 \frac{a + b}{2}\): \[ \log_7 \frac{a + b}{2} = \log_7 \left( b \left( \frac{9 + 3\sqrt{5}}{4} \right) \right) \] Ta biết rằng: \[ \log_7 \left( b \left( \frac{9 + 3\sqrt{5}}{4} \right) \right) = \log_7 b + \log_7 \left( \frac{9 + 3\sqrt{5}}{4} \right) \] 8. Tính \(\log_7 a + \log_7 b\): \[ \log_7 a + \log_7 b = \log_7 (ab) \] 9. So sánh các đáp án: Ta thấy rằng: \[ \log_7 \frac{a + b}{2} = \frac{1}{3} (\log_7 a + \log_7 b) \] Vậy đáp án đúng là: A. $\log_7 \frac{a + b}{2} = \frac{1}{3} (\log_7 a + \log_7 b)$ Đáp án: A. $\log_7 \frac{a + b}{2} = \frac{1}{3} (\log_7 a + \log_7 b)$