cho tam giác ABC nhọn . Các đường cao AD,BE,CF cắt nhau tại H

â, chứng minh tam giác AEF đồng dạng với tam giác ABC

b, Gọi O là trung điểm của BC, I là trung điểm của AH, EF và Oi cắt nhau tại K. chứng minh AH^2=4IK ( làm theo kiến thức lớp 8 )

Question

cho tam giác ABC nhọn . Các đường cao AD,BE,CF cắt nhau tại H

â, chứng  minh tam giác AEF đồng dạng với tam giác ABC

b, Gọi O là trung điểm của BC, I là trung điểm của AH, EF và Oi cắt nhau tại K. chứng minh AH^2=4IK ( làm theo kiến thức lớp 8 )

Accepted Answer

a) Ta có $\widehat{AFE} = \widehat{ABC}$ (cùng phụ với $\widehat{CBF}$)
$\widehat{AEF} = \widehat{ACB}$ (cùng phụ với $\widehat{BCE}$)
Do đó $	riangle AEF \sim 	riangle ABC$ (g-g)

b) Ta có $	riangle AEF \sim 	riangle ABC$ nên $\frac{AF}{AB} = \frac{AE}{AC}$
Mà $\widehat{FAE} = \widehat{BAC}$ nên $	riangle AFE \sim 	riangle ACB$ (cạnh-cạnh-góc)
Suy ra $\widehat{AFE} = \widehat{ACB}$
Ta có $\widehat{AFO} = \widehat{ACO} = 90^\circ$ nên tứ giác $AFHC$ nội tiếp.
Suy ra $\widehat{AHF} = \widehat{ACF} = 90^\circ$
Từ đó ta có $\widehat{AHF} = \widehat{AOF} = 90^\circ$
Suy ra $AH \parallel OF$
Mà $I$ là trung điểm của $AH$, $O$ là trung điểm của $BC$ nên $OI$ là đường trung bình của $	riangle ABH$
Suy ra $OI \parallel BH$
Từ đó ta có $AHOF$ là hình bình hành.
Suy ra $AH = OF$
Mà $OK = \frac{1}{2} OF = \frac{1}{2} AH$
Suy ra $AH = 2 OK$
Mặt khác, ta có $\widehat{AFO} = \widehat{AKO} = 90^\circ$
Suy ra $OK \perp AK$
Suy ra $AH^2 = 4 OK^2 = 4 IK^2$
Suy ra $AH = 2 IK$

cho tam giác ABC nhọn . Các đường cao AD,BE,CF cắt nhau tại H â, chứng minh tam giác AEF đồng dạng với tam giác ABC b, Gọi O là trung điểm của BC, I là trung điểm của AH, EF và Oi cắt nhau tại K. ch...