giúp tôi nhé

Câu 7: Để hai đường thẳng \( d_1 \) và \( d_2 \) vuông góc với nhau, tích vô hướng của hai vectơ chỉ phương của chúng phải bằng 0. Vectơ chỉ phương của \( d_1 \) là \( \vec{u}_1 = (-2, 1, 3) \). Vectơ chỉ phương của \( d_2 \) là \( \vec{u}_2 = (1, -1, m) \). Tích vô hướng của \( \vec{u}_1 \) và \( \vec{u}_2 \) là: \[ \vec{u}_1 \cdot \vec{u}_2 = (-2) \cdot 1 + 1 \cdot (-1) + 3 \cdot m = -2 - 1 + 3m = -3 + 3m \] Để \( d_1 \) và \( d_2 \) vuông góc, ta có: \[ -3 + 3m = 0 \] \[ 3m = 3 \] \[ m = 1 \] Vậy đáp án đúng là B. 1. Câu 8: Để hai đường thẳng \( d_1 \) và \( d_2 \) vuông góc với nhau, tích vô hướng của hai vectơ chỉ phương của chúng phải bằng 0. Vectơ chỉ phương của \( d_1 \) là \( \vec{u}_1 = (3, 4, m) \). Vectơ chỉ phương của \( d_2 \) là \( \vec{u}_2 = (-1, 2, 1) \). Tích vô hướng của \( \vec{u}_1 \) và \( \vec{u}_2 \) là: \[ \vec{u}_1 \cdot \vec{u}_2 = 3 \cdot (-1) + 4 \cdot 2 + m \cdot 1 = -3 + 8 + m = 5 + m \] Để hai đường thẳng vuông góc, ta có: \[ 5 + m = 0 \] \[ m = -5 \] Vậy đáp án đúng là: C. \( m = -5 \). Câu 9: Để tìm tọa độ giao điểm của hai đường thẳng $\Delta$ và $d$, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Xác định phương trình tham số của hai đường thẳng: - Đường thẳng $\Delta$: \[ \left\{ \begin{array}{l} x = 3 + t \\ y = 2 - 3t \\ z = 5 + 2t \end{array} \right. \] - Đường thẳng $d$: \[ \left\{ \begin{array}{l} x = 6 - t' \\ y = 1 - t' \\ z = 3 + 2t' \end{array} \right. \] Bước 2: Tìm tọa độ giao điểm bằng cách đặt các phương trình tham số của cả hai đường thẳng bằng nhau: \[ \left\{ \begin{array}{l} 3 + t = 6 - t' \\ 2 - 3t = 1 - t' \\ 5 + 2t = 3 + 2t' \end{array} \right. \] Bước 3: Giải hệ phương trình này để tìm giá trị của $t$ và $t'$: - Từ phương trình thứ nhất: \[ 3 + t = 6 - t' \implies t + t' = 3 \quad \text{(1)} \] - Từ phương trình thứ hai: \[ 2 - 3t = 1 - t' \implies -3t + t' = -1 \quad \text{(2)} \] - Từ phương trình thứ ba: \[ 5 + 2t = 3 + 2t' \implies 2t - 2t' = -2 \implies t - t' = -1 \quad \text{(3)} \] Bước 4: Giải hệ phương trình (1), (2), và (3): - Cộng phương trình (1) và (3): \[ (t + t') + (t - t') = 3 - 1 \implies 2t = 2 \implies t = 1 \] - Thay $t = 1$ vào phương trình (1): \[ 1 + t' = 3 \implies t' = 2 \] Bước 5: Thay giá trị của $t$ và $t'$ vào phương trình tham số của bất kỳ đường thẳng nào để tìm tọa độ giao điểm: - Thay $t = 1$ vào phương trình tham số của đường thẳng $\Delta$: \[ \left\{ \begin{array}{l} x = 3 + 1 = 4 \\ y = 2 - 3 \cdot 1 = -1 \\ z = 5 + 2 \cdot 1 = 7 \end{array} \right. \] Vậy tọa độ giao điểm của hai đường thẳng $\Delta$ và $d$ là $(4, -1, 7)$. Đáp án đúng là: A. $I(4, -1, 7)$. Câu 10: Để tìm phương trình tham số của đường thẳng MN, ta cần xác định vectơ chỉ phương của đường thẳng này. Vectơ chỉ phương của đường thẳng MN có thể được tìm bằng cách lấy tọa độ của điểm N trừ đi tọa độ của điểm M. Vectơ $\overrightarrow{MN}$ có tọa độ: \[ \overrightarrow{MN} = (2 - 1, 1 - 0, 0 - 1) = (1, 1, -1) \] Bây giờ, ta sử dụng điểm M(1, 0, 1) và vectơ chỉ phương $\overrightarrow{MN} = (1, 1, -1)$ để viết phương trình tham số của đường thẳng MN. Phương trình tham số của đường thẳng MN sẽ có dạng: \[ \left\{ \begin{array}{l} x = 1 + t \\ y = 0 + t \\ z = 1 - t \end{array} \right. \] Do đó, phương trình tham số của đường thẳng MN là: \[ \left\{ \begin{array}{l} x = 1 + t \\ y = t \\ z = 1 - t \end{array} \right. \] Vậy đáp án đúng là: D. $\left\{ \begin{array}{l} x = 1 + t \\ y = t \\ z = 1 - t \end{array} \right.$ Câu 11: Để tìm phương trình tham số của đường thẳng $\Delta$ đi qua điểm $M(2;-3;5)$ và song song với đường thẳng $d$, ta cần xác định vector chỉ phương của đường thẳng $d$ và sử dụng nó để viết phương trình tham số của $\Delta$. Bước 1: Xác định vector chỉ phương của đường thẳng $d$: Phương trình tham số của đường thẳng $d$ là: \[ d: \left\{ \begin{array}{l} x = 1 + 2t \\ y = 3 - t \\ z = 4 + t \end{array} \right. \] Từ đây, ta thấy vector chỉ phương của đường thẳng $d$ là $\vec{u} = (2, -1, 1)$. Bước 2: Viết phương trình tham số của đường thẳng $\Delta$: Đường thẳng $\Delta$ đi qua điểm $M(2, -3, 5)$ và song song với đường thẳng $d$, do đó vector chỉ phương của $\Delta$ cũng là $\vec{u} = (2, -1, 1)$. Phương trình tham số của đường thẳng $\Delta$ sẽ có dạng: \[ \Delta: \left\{ \begin{array}{l} x = 2 + 2t \\ y = -3 - t \\ z = 5 + t \end{array} \right. \] Do đó, phương án đúng là: D. $\left\{ \begin{array}{l} x = 2 + 2t \\ y = -3 - t \\ z = 5 + t \end{array} \right.$ Đáp án: D. Câu 12: Để tìm phương trình tham số của đường thẳng $\Delta$ đi qua điểm $M(1;-2;0)$ và vuông góc với mặt phẳng $(P):~2x-3y-z+2=0$, ta thực hiện các bước sau: 1. Xác định vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P): Mặt phẳng $(P):~2x-3y-z+2=0$ có vectơ pháp tuyến là $\vec{n}=(2,-3,-1)$. 2. Xác định vectơ chỉ phương của đường thẳng $\Delta$: Vì đường thẳng $\Delta$ vuông góc với mặt phẳng $(P)$, nên vectơ chỉ phương của đường thẳng $\Delta$ sẽ trùng với vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(P)$. Do đó, vectơ chỉ phương của đường thẳng $\Delta$ là $\vec{d}=(2,-3,-1)$. 3. Lập phương trình tham số của đường thẳng $\Delta$: Đường thẳng $\Delta$ đi qua điểm $M(1;-2;0)$ và có vectơ chỉ phương $\vec{d}=(2,-3,-1)$. Phương trình tham số của đường thẳng $\Delta$ là: \[ \left\{ \begin{array}{l} x = 1 + 2t \\ y = -2 - 3t \\ z = 0 - t \end{array} \right. \] Do đó, phương án đúng là: B. $\left\{ \begin{array}{l} x = 1 + 2t \\ y = -2 - 3t \\ z = -t \end{array} \right.$ Câu 13: Để xác định điểm mà viên đạn bắn trúng, ta cần tính vị trí của viên đạn sau 3 giây đầu tiên. Ta biết rằng vận tốc của viên đạn là $\overrightarrow{v} = (1; 3; -2)$ và nó di chuyển trong 3 giây. Bước 1: Tính khoảng cách mà viên đạn di chuyển theo mỗi trục trong 3 giây. - Trên trục x: $1 \times 3 = 3$ - Trên trục y: $3 \times 3 = 9$ - Trên trục z: $-2 \times 3 = -6$ Bước 2: Tính tọa độ mới của viên đạn sau 3 giây. - Tọa độ ban đầu của viên đạn là $A(2; 1; -1)$. - Sau 3 giây, tọa độ mới sẽ là: - Trên trục x: $2 + 3 = 5$ - Trên trục y: $1 + 9 = 10$ - Trên trục z: $-1 - 6 = -7$ Vậy tọa độ của viên đạn sau 3 giây là $(5; 10; -7)$. Bước 3: So sánh tọa độ này với các điểm đã cho để xác định điểm mà viên đạn bắn trúng. - Điểm M(4; 0; -2) - Điểm N(-1; 1; -3) - Điểm P(4; 7; -5) - Điểm Q(3; 9; -6) Nhìn vào các tọa độ, ta thấy rằng không có điểm nào trong các điểm đã cho trùng khớp với tọa độ $(5; 10; -7)$. Do đó, viên đạn không bắn trúng bất kỳ điểm nào trong các điểm đã cho. Đáp án: Viên đạn không bắn trúng bất kỳ điểm nào trong các điểm đã cho.