Cho (O) và điểm M nằm ngoài (O). Vẽ các tiếp tuyến MP, MQ của (O)
(P,Q thuộc (O)). Vẽ cát tuyến MDE (tia MD nằm giữa tia MP và tia MO, D nằm giữa M và
E). Kẻ(K thuộc ED)
a) Chứng minh tứ giác MPOQ, MPKO nội tiếp.
b) Chứng minh tam giác MPD đồng dạng với tam giác MEP
c) Tiếp tuyến tại D của (O) cắt MP tại H, MQ tại I. Gọi F là giao điểm PD và OH, G là
giao điểm QD và OI. Chứng minh: FG//PQ

Question

Accepted Answer

a)

1)
- Do MP và MQ là tiếp tuyến nên:
$$
\widehat{MPO} = \widehat{MQO} = 90^\circ.
$$
- Tổng hai góc đối diện bằng $180^\circ$

Nên tứ giác $MPOQ$ nội tiếp.

2)
- Vì $K \in ED$ nên $K$ thuộc cát tuyến và $\widehat{MPK} = \widehat{MOK} = 90^\circ$ (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn).
$$
\Rightarrow \text{Tứ giác } MPKO \text{ nội tiếp.}
$$

Vậy:Tứ giác $MPOQ$ và $MPKO$ đều nội tiếp.

b)

- Vì $MP$ là tiếp tuyến nên $\widehat{MPD} = \widehat{MEO}$ (góc tạo bởi tiếp tuyến và dây cung).
- Hai tam giác này có góc chung tại $M$.

$$
\Rightarrow \Delta MPD \sim \Delta MEP \, (\text{g.g}).
$$

Vậy: $\Delta MPD \sim \Delta MEP.$

c)

- Vì H và I là giao điểm của tiếp tuyến tại $D$ với $MP$ và $MQ$, ta có:
$$
\widehat{PDH} = \widehat{PQM}, \quad \widehat{QDI} = \widehat{QPM}.
$$
- F là giao điểm của $PD$ và $OH$, G là giao điểm của $QD$ và $OI$, nên:
$$
\widehat{DFG} = \widehat{PQM}.
$$
- Do đó, $FG \parallel PQ$ (góc so le trong bằng nhau).

Vậy: $FG \parallel PQ.$

Cho (O) và điểm M nằm ngoài (O). Vẽ các tiếp tuyến MP, MQ của (O) (P,Q thuộc (O)). Vẽ cát tuyến MDE (tia MD nằm giữa tia MP và tia MO, D nằm giữa M và E). Kẻ(K thuộc ED) a) Chứng minh tứ giác MPOQ, MPK...