giúp mình với

Câu 1: Để xác định hàm số \( F(x) \) là một nguyên hàm của hàm số \( f(x) \) trên khoảng \( K \), ta cần kiểm tra điều kiện nào trong các lựa chọn A, B, C, D là đúng. Theo định nghĩa của nguyên hàm, hàm số \( F(x) \) là một nguyên hàm của hàm số \( f(x) \) trên khoảng \( K \) nếu và chỉ nếu đạo hàm của \( F(x) \) bằng \( f(x) \) tại mọi điểm thuộc khoảng \( K \). Điều này có thể viết dưới dạng: \[ F'(x) = f(x), \quad \forall x \in K. \] Do đó, đáp án đúng là: C. \( F'(x) = f(x), \quad \forall x \in K. \) Lập luận từng bước: 1. Xác định định nghĩa của nguyên hàm: Nếu \( F(x) \) là nguyên hàm của \( f(x) \), thì \( F'(x) = f(x) \). 2. Kiểm tra các lựa chọn: - A. \( F'(x) = -f(x) \) là sai vì đạo hàm của \( F(x) \) phải bằng \( f(x) \), không phải là \( -f(x) \). - B. \( f'(x) = F(x) \) là sai vì đạo hàm của \( f(x) \) không liên quan trực tiếp đến \( F(x) \). - C. \( F'(x) = f(x) \) là đúng theo định nghĩa nguyên hàm. - D. \( f'(x) = -F(x) \) là sai vì đạo hàm của \( f(x) \) không liên quan trực tiếp đến \( -F(x) \). Vậy, đáp án đúng là: C. \( F'(x) = f(x), \quad \forall x \in K. \) Câu 2: Để xác định mệnh đề sai trong các mệnh đề về tính chất của tích phân, chúng ta sẽ kiểm tra từng mệnh đề một. A. $\int[f(x) - g(x)]dx = \int f(x)dx - \int g(x)dx.$ Theo tính chất của tích phân, tích phân của hiệu của hai hàm số bằng hiệu của tích phân của mỗi hàm số. Do đó, mệnh đề này đúng. B. $\int[f(x) + g(x)]dx = \int f(x)dx + \int g(x)dx.$ Theo tính chất của tích phân, tích phân của tổng của hai hàm số bằng tổng của tích phân của mỗi hàm số. Do đó, mệnh đề này đúng. C. $\int kf(x)dx = k\int f(x)dx$ với mọi hằng số $k \in R \setminus \{0\}.$ Theo tính chất của tích phân, tích phân của một hàm số nhân với một hằng số bằng hằng số đó nhân với tích phân của hàm số đó. Do đó, mệnh đề này đúng. D. $\int f(x).g(x)dx = \int f(x)dx \int g(x)dx.$ Theo tính chất của tích phân, tích phân của tích của hai hàm số không bằng tích của tích phân của mỗi hàm số. Do đó, mệnh đề này sai. Vậy, mệnh đề sai là: D. $\int f(x).g(x)dx = \int f(x)dx \int g(x)dx.$ Đáp án: D. Câu 3: Để xác định hàm số \( f(x) \) sao cho \( F(x) = 2\sin x - 3\cos x \) là một nguyên hàm của \( f(x) \), ta cần tính đạo hàm của \( F(x) \). Bước 1: Tính đạo hàm của \( F(x) \): \[ F'(x) = \frac{d}{dx}(2\sin x - 3\cos x) \] Áp dụng công thức đạo hàm của sin và cos: \[ \frac{d}{dx}(\sin x) = \cos x \] \[ \frac{d}{dx}(\cos x) = -\sin x \] Do đó: \[ F'(x) = 2 \cdot \cos x - 3 \cdot (-\sin x) \] \[ F'(x) = 2\cos x + 3\sin x \] Bước 2: So sánh kết quả với các đáp án đã cho: A. \( f(x) = -2\cos x - 3\sin x \) B. \( f(x) = -2\cos x + 3\sin x \) C. \( f(x) = 2\cos x + 3\sin x \) D. \( f(x) = 2\cos x - 3\sin x \) Ta thấy rằng \( F'(x) = 2\cos x + 3\sin x \) khớp với đáp án C. Vậy đáp án đúng là: C. \( f(x) = 2\cos x + 3\sin x \). Câu 4: Ta có: \[ \int^2_0 f(x) \, dx = F(x) \Big|_0^2 = F(2) - F(0) \] Biết rằng \( F(0) = 1 \) và \( F(2) = 5 \), ta thay vào công thức trên: \[ \int^2_0 f(x) \, dx = 5 - 1 = 4 \] Vậy giá trị của \(\int^2_0 f(x) \, dx\) là 4. Đáp án đúng là: D. 4. Câu 5: Ta xét từng mệnh đề: A. $\int^c_af(x)dx + \int^b_cf(x)dx = \int^a_bf(x)dx$. Theo tính chất của tích phân, ta có: \[ \int^c_af(x)dx + \int^b_cf(x)dx = \int^b_af(x)dx \] Do đó, mệnh đề A sai. B. $\int^b_af(x)dx - \int^c_af(x)dx = \int^c_cf(x)dx$. Theo tính chất của tích phân, ta có: \[ \int^b_af(x)dx - \int^c_af(x)dx = \int^b_cf(x)dx \] Do đó, mệnh đề B sai. C. $\int^b_af(x)dx + \int^c_af(x)dx = \int^b_cf(x)dx$. Theo tính chất của tích phân, ta có: \[ \int^b_af(x)dx + \int^c_af(x)dx = \int^b_af(x)dx + \int^c_af(x)dx \neq \int^b_cf(x)dx \] Do đó, mệnh đề C sai. D. $\int^c_af(x)dx + \int^b_cf(x)dx = \int^b_af(x)dx$. Theo tính chất của tích phân, ta có: \[ \int^c_af(x)dx + \int^b_cf(x)dx = \int^b_af(x)dx \] Do đó, mệnh đề D đúng. Vậy đáp án đúng là D. Câu 6: Để tính tích phân \( I = \int_{1}^{3} f'(x) \, dx \), ta sử dụng định lý Newton-Leibniz, theo đó: \[ \int_{a}^{b} f'(x) \, dx = f(b) - f(a) \] Trong bài toán này, ta có: - \( a = 1 \) - \( b = 3 \) Áp dụng định lý Newton-Leibniz vào bài toán: \[ I = \int_{1}^{3} f'(x) \, dx = f(3) - f(1) \] Biết rằng: - \( f(1) = 2 \) - \( f(3) = 9 \) Thay các giá trị đã biết vào công thức: \[ I = 9 - 2 = 7 \] Vậy đáp án đúng là: C. \( I = 7 \). Câu 7: Ta có: \[ \int^2_0 2f(x) \, dx = 2 \int^2_0 f(x) \, dx \] Biết rằng: \[ \int^2_0 f(x) \, dx = 6 \] Do đó: \[ 2 \int^2_0 f(x) \, dx = 2 \times 6 = 12 \] Vậy giá trị của $\int^2_0 2f(x) \, dx$ là 12. Đáp án đúng là: A. 12. Câu 8: Ta có: \[ \int^2_1 [f(x) - g(x)] \, dx = \int^2_1 f(x) \, dx - \int^2_1 g(x) \, dx \] Thay các giá trị đã biết vào: \[ \int^2_1 [f(x) - g(x)] \, dx = 3 - 2 = 1 \] Vậy giá trị của $\int^2_1 [f(x) - g(x)] \, dx$ là 1. Đáp án đúng là: C. 1. Câu 9: Để tính giá trị của $\int^2_0(f(x)+2^x)dx$, ta sẽ sử dụng tính chất của tích phân để tách nó thành hai phần riêng biệt. Ta có: \[ \int^2_0(f(x)+2^x)dx = \int^2_0 f(x) dx + \int^2_0 2^x dx \] Theo đề bài, ta biết rằng: \[ \int^2_0 f(x) dx = 6 \] Bây giờ, ta cần tính $\int^2_0 2^x dx$. Ta sử dụng công thức tích phân của hàm mũ: \[ \int a^x dx = \frac{a^x}{\ln a} + C \] Áp dụng vào bài toán: \[ \int^2_0 2^x dx = \left[ \frac{2^x}{\ln 2} \right]^2_0 = \frac{2^2}{\ln 2} - \frac{2^0}{\ln 2} = \frac{4}{\ln 2} - \frac{1}{\ln 2} = \frac{3}{\ln 2} \] Vậy tổng của hai tích phân là: \[ \int^2_0(f(x)+2^x)dx = 6 + \frac{3}{\ln 2} \] Do đó, đáp án đúng là: B. $6 + \frac{3}{\ln 2}$ Câu 10: Phương trình mặt phẳng $(P)$ được cho là $3x - z + 2 = 0$. Ta nhận thấy rằng phương trình này có dạng $Ax + By + Cz + D = 0$, trong đó $A = 3$, $B = 0$, $C = -1$, và $D = 2$. Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $(P)$ sẽ có dạng $(A, B, C)$. Do đó, vectơ pháp tuyến của $(P)$ là $(3, 0, -1)$. Ta kiểm tra các đáp án: - Đáp án A: $\overrightarrow{n}_3 = (3, 0, -1)$ đúng. - Đáp án B: $\overrightarrow{n}_2 = (3, -1, 0)$ sai vì $B = 0$. - Đáp án C: $\overrightarrow{n}_4 = (-1, 0, -1)$ sai vì $A = 3$. - Đáp án D: $\overrightarrow{n}_1 = (3, -1, 2)$ sai vì $B = 0$ và $C = -1$. Vậy đáp án đúng là: A. $\overrightarrow{n}_3 = (3, 0, -1)$. Câu 11: Để kiểm tra xem một điểm có thuộc mặt phẳng $(P)$ hay không, ta thay tọa độ của điểm đó vào phương trình mặt phẳng $(P)$ và kiểm tra xem phương trình có thỏa mãn hay không. A. Với điểm $M_3(0;2;1)$: \[ 0 - 2 + 1 + 2 = 1 \neq 0 \] Do đó, điểm $M_3$ không thuộc mặt phẳng $(P)$. B. Với điểm $M_4(0;-2;1)$: \[ 0 - (-2) + 1 + 2 = 0 + 2 + 1 + 2 = 5 \neq 0 \] Do đó, điểm $M_4$ không thuộc mặt phẳng $(P)$. C. Với điểm $M_2(0;2;0)$: \[ 0 - 2 + 0 + 2 = 0 \] Do đó, điểm $M_2$ thuộc mặt phẳng $(P)$. D. Với điểm $M_1(0;-2;0)$: \[ 0 - (-2) + 0 + 2 = 0 + 2 + 0 + 2 = 4 \neq 0 \] Do đó, điểm $M_1$ không thuộc mặt phẳng $(P)$. Vậy điểm thuộc mặt phẳng $(P)$ là: Đáp án đúng là: C. $M_2(0;2;0)$. Câu 12: Để tìm phương trình mặt phẳng đi qua ba điểm \( M(3, -1, 2) \), \( N(4, -1, -1) \), và \( P(2, 0, 2) \), ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Tìm hai vectơ nằm trên mặt phẳng: - Vectơ \( \overrightarrow{MN} \): \[ \overrightarrow{MN} = (4 - 3, -1 + 1, -1 - 2) = (1, 0, -3) \] - Vectơ \( \overrightarrow{MP} \): \[ \overrightarrow{MP} = (2 - 3, 0 + 1, 2 - 2) = (-1, 1, 0) \] Bước 2: Tính vectơ pháp tuyến của mặt phẳng bằng cách lấy tích vector của \( \overrightarrow{MN} \) và \( \overrightarrow{MP} \): \[ \overrightarrow{n} = \overrightarrow{MN} \times \overrightarrow{MP} \] Tích vector: \[ \overrightarrow{n} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 1 & 0 & -3 \\ -1 & 1 & 0 \end{vmatrix} = \mathbf{i}(0 \cdot 0 - (-3) \cdot 1) - \mathbf{j}(1 \cdot 0 - (-3) \cdot (-1)) + \mathbf{k}(1 \cdot 1 - 0 \cdot (-1)) = \mathbf{i}(3) - \mathbf{j}(3) + \mathbf{k}(1) = (3, -3, 1) \] Bước 3: Viết phương trình mặt phẳng: Phương trình mặt phẳng có dạng \( ax + by + cz + d = 0 \), trong đó \( (a, b, c) \) là vectơ pháp tuyến và \( d \) là hằng số. Ta thay tọa độ của điểm \( M(3, -1, 2) \) vào phương trình để tìm \( d \): \[ 3x - 3y + z + d = 0 \] \[ 3(3) - 3(-1) + 1(2) + d = 0 \] \[ 9 + 3 + 2 + d = 0 \] \[ 14 + d = 0 \] \[ d = -14 \] Vậy phương trình mặt phẳng là: \[ 3x - 3y + z - 14 = 0 \] Tuy nhiên, ta thấy rằng phương trình này không khớp với bất kỳ đáp án nào trong các lựa chọn đã cho. Do đó, ta kiểm tra lại các bước và nhận thấy rằng có thể có lỗi trong việc tính toán hoặc lựa chọn đáp án. Ta thử lại với các phương án đã cho: - Phương án A: \( 3x + 3y - z - 8 = 0 \) - Phương án B: \( 3x - 2y + z - 8 = 0 \) - Phương án C: \( 3x + 3y - z + 8 = 0 \) - Phương án D: \( 3x + 3y + z - 8 = 0 \) Kiểm tra lại với điểm \( M(3, -1, 2) \): - Phương án A: \( 3(3) + 3(-1) - 2 - 8 = 9 - 3 - 2 - 8 = -4 \neq 0 \) - Phương án B: \( 3(3) - 2(-1) + 2 - 8 = 9 + 2 + 2 - 8 = 5 \neq 0 \) - Phương án C: \( 3(3) + 3(-1) - 2 + 8 = 9 - 3 - 2 + 8 = 12 \neq 0 \) - Phương án D: \( 3(3) + 3(-1) + 2 - 8 = 9 - 3 + 2 - 8 = 0 \) Vậy phương trình đúng là: \[ 3x + 3y + z - 8 = 0 \] Đáp án đúng là: D. \( 3x + 3y + z - 8 = 0 \)