Giải bài tập

Câu 1: Để tìm chiều cao tối đa của cây cà chua, ta cần xác định thời điểm mà tốc độ tăng chiều cao của cây cà chua đạt cực đại. Bước 1: Xác định thời điểm mà tốc độ tăng chiều cao đạt cực đại. - Ta có hàm số tốc độ tăng chiều cao của cây cà chua là: \( v(t) = -0,1t^3 + t^2 \). - Để tìm cực đại của hàm số \( v(t) \), ta tính đạo hàm của \( v(t) \): \[ v'(t) = \frac{d}{dt}(-0,1t^3 + t^2) = -0,3t^2 + 2t \] - Đặt đạo hàm bằng 0 để tìm các điểm cực trị: \[ -0,3t^2 + 2t = 0 \] \[ t(-0,3t + 2) = 0 \] - Giải phương trình này: \[ t = 0 \quad \text{hoặc} \quad -0,3t + 2 = 0 \] \[ t = 0 \quad \text{hoặc} \quad t = \frac{2}{0,3} = \frac{20}{3} \approx 6,67 \] - Ta kiểm tra dấu của đạo hàm \( v'(t) \) ở các khoảng: - Khi \( t < 0 \), \( v'(t) < 0 \) - Khi \( 0 < t < 6,67 \), \( v'(t) > 0 \) - Khi \( t > 6,67 \), \( v'(t) < 0 \) - Do đó, \( v(t) \) đạt cực đại tại \( t = 6,67 \). Bước 2: Tính độ cao của cây cà chua tại thời điểm \( t = 6,67 \). - Ta có hàm số độ cao của cây cà chua là \( h(t) \). Biết rằng \( h(0) = 5 \) cm và \( v(t) = h'(t) \). - Tích phân hàm số \( v(t) \) để tìm \( h(t) \): \[ h(t) = \int v(t) \, dt = \int (-0,1t^3 + t^2) \, dt = -0,025t^4 + \frac{1}{3}t^3 + C \] - Áp dụng điều kiện ban đầu \( h(0) = 5 \): \[ 5 = -0,025(0)^4 + \frac{1}{3}(0)^3 + C \] \[ C = 5 \] - Vậy hàm số độ cao của cây cà chua là: \[ h(t) = -0,025t^4 + \frac{1}{3}t^3 + 5 \] - Tính độ cao của cây cà chua tại \( t = 6,67 \): \[ h(6,67) = -0,025(6,67)^4 + \frac{1}{3}(6,67)^3 + 5 \] \[ h(6,67) \approx -0,025 \times 1900 + \frac{1}{3} \times 292 + 5 \] \[ h(6,67) \approx -47,5 + 97,33 + 5 \] \[ h(6,67) \approx 54,83 \] Vậy chiều cao tối đa của cây cà chua là khoảng 54,8 cm. Câu 2: Đầu tiên, ta cần tìm thời điểm mà ô tô dừng hẳn. Điều này xảy ra khi vận tốc của ô tô bằng 0. \[ v(t) = -10t + 30 = 0 \] Giải phương trình này: \[ -10t + 30 = 0 \] \[ -10t = -30 \] \[ t = 3 \text{ giây} \] Vậy, ô tô dừng hẳn sau 3 giây kể từ khi đạp phanh. Tiếp theo, ta cần tìm quãng đường ô tô đi được kể từ khi đạp phanh cho đến khi dừng hẳn. Ta sử dụng công thức tính quãng đường dựa trên vận tốc: \[ s(t) = \int_{0}^{t} v(t) \, dt \] Trong khoảng thời gian từ 0 đến 3 giây: \[ s(3) = \int_{0}^{3} (-10t + 30) \, dt \] Tính tích phân: \[ s(3) = \left[ -5t^2 + 30t \right]_{0}^{3} \] \[ s(3) = \left( -5(3)^2 + 30(3) \right) - \left( -5(0)^2 + 30(0) \right) \] \[ s(3) = \left( -5 \cdot 9 + 90 \right) - 0 \] \[ s(3) = -45 + 90 \] \[ s(3) = 45 \text{ mét} \] Cuối cùng, ta cần tính tổng quãng đường từ khi phát hiện chướng ngại vật cho đến khi dừng hẳn. Trong 1 giây phản ứng, ô tô vẫn di chuyển với vận tốc ban đầu 72 km/h, tức là 20 m/s. Quãng đường trong 1 giây phản ứng: \[ s_{phản\_ứng} = 20 \times 1 = 20 \text{ mét} \] Tổng quãng đường: \[ s_{tổng} = s_{phản\_ứng} + s(3) \] \[ s_{tổng} = 20 + 45 \] \[ s_{tổng} = 65 \text{ mét} \] Vậy, quãng đường ô tô đã di chuyển kể từ lúc người lái xe phát hiện chướng ngại vật trên đường đến khi xe ô tô dừng hẳn là 65 mét.