giải cho tôi câu 1 đến câu6

Câu 1. Phương trình $(\sin x-1)(\cos^2x-\cos x+\frac m{2024})=0$ có nghiệm $\sin x = 1$, tức là $x = \frac{\pi}{2} + k2\pi$. Để phương trình có đúng 5 nghiệm phân biệt trong đoạn $[0, 2\pi]$, thì phương trình $\cos^2x - \cos x + \frac{m}{2024} = 0$ phải có đúng 4 nghiệm phân biệt trong đoạn này. Xét phương trình $\cos^2x - \cos x + \frac{m}{2024} = 0$. Đặt $t = \cos x$, ta có phương trình $t^2 - t + \frac{m}{2024} = 0$. Để phương trình có 4 nghiệm phân biệt trong đoạn $[0, 2\pi]$, thì phương trình $t^2 - t + \frac{m}{2024} = 0$ phải có hai nghiệm phân biệt $t_1$ và $t_2$ thỏa mãn $-1 < t_1 < 1$ và $-1 < t_2 < 1$. Tính chất của phương trình bậc hai: - Phương trình có hai nghiệm phân biệt khi $\Delta > 0$. - Nghiệm của phương trình là $t_{1,2} = \frac{1 \pm \sqrt{1 - 4 \cdot \frac{m}{2024}}}{2}$. Điều kiện để phương trình có hai nghiệm phân biệt trong khoảng $(-1, 1)$: 1. $\Delta > 0$: $1 - 4 \cdot \frac{m}{2024} > 0 \Rightarrow m < 506$. 2. $-1 < t_1 < 1$ và $-1 < t_2 < 1$. Ta kiểm tra các giá trị nguyên của $m$ sao cho phương trình có hai nghiệm phân biệt trong khoảng $(-1, 1)$. Sau khi kiểm tra, ta thấy rằng các giá trị nguyên của $m$ thỏa mãn điều kiện trên là $m = 0, 1, 2, ..., 505$. Vậy tập S có 506 phần tử. Đáp số: 506. Câu 2. Trước tiên, ta nhận thấy rằng tam giác ACE đều và AC = OD = 12. Vì O là tâm của hình bình hành ABCD, nên OD = OB = OC = OA = 12. Do đó, O là trung điểm của AC và BD. Gọi F là trung điểm của SD. Ta sẽ chứng minh rằng thiết diện của mặt phẳng $(\alpha)$ đi qua I và song song với mặt phẳng ACE là tam giác CIF. - Vì $(\alpha)$ song song với ACE, nên $(\alpha)$ cũng song song với đường thẳng CE và AE. - Mặt phẳng $(\alpha)$ đi qua I trên đoạn OD, do đó nó cũng đi qua F (trung điểm của SD) vì F nằm trên đường thẳng SD và $(\alpha)$ song song với CE và AE. Do đó, thiết diện của mặt phẳng $(\alpha)$ là tam giác CIF. Diện tích của tam giác CIF là: \[ S_{CIF} = \frac{1}{2} \times CI \times IF \times \sin(\angle CIF) \] Ta biết rằng: - CI = CO - IO = 12 - x - IF = \frac{1}{2} \times SF = \frac{1}{2} \times SE = \frac{1}{2} \times \frac{1}{2} \times SB = \frac{1}{4} \times SB Vì tam giác ACE đều, nên góc CIF = 60°, do đó $\sin(60°) = \frac{\sqrt{3}}{2}$. Do đó diện tích tam giác CIF là: \[ S_{CIF} = \frac{1}{2} \times (12 - x) \times \frac{1}{4} \times SB \times \frac{\sqrt{3}}{2} = \frac{\sqrt{3}}{16} \times (12 - x) \times SB \] Để diện tích này lớn nhất, ta cần tối đa hóa $(12 - x)$. Điều này xảy ra khi $x = 0$. Vậy giá trị của x để diện tích thiết diện của hình chóp S.ABCD cắt bởi mặt phẳng $(\alpha)$ là lớn nhất là: \[ x = 0 \] Đáp số: $x = 0$ Câu 3. Diện tích của hình vuông ban đầu là $S_0 = 1$. Khi chia hình vuông $H_0$ thành 9 hình vuông nhỏ hơn và bỏ đi 4 hình vuông, ta còn lại 5 hình vuông nhỏ hơn, mỗi hình vuông nhỏ hơn có diện tích là $\frac{1}{9}$ của diện tích hình vuông ban đầu. Do đó, diện tích của hình $H_1$ là: \[ S_1 = 5 \times \frac{1}{9} = \frac{5}{9} \] Tiếp theo, mỗi hình vuông trong $H_1$ cũng được chia thành 9 hình vuông nhỏ hơn và bỏ đi 4 hình vuông, ta còn lại 5 hình vuông nhỏ hơn, mỗi hình vuông nhỏ hơn có diện tích là $\frac{1}{9}$ của diện tích hình vuông trong $H_1$. Do đó, diện tích của hình $H_2$ là: \[ S_2 = 5 \times \left( \frac{1}{9} \right)^2 = 5 \times \frac{1}{81} = \frac{5}{81} \] Tương tự, diện tích của hình $H_n$ là: \[ S_n = 5 \times \left( \frac{1}{9} \right)^n = \frac{5}{9^n} \] Tổng diện tích của tất cả các hình $H_n$ là: \[ S = S_1 + S_2 + S_3 + \cdots = \frac{5}{9} + \frac{5}{81} + \frac{5}{729} + \cdots \] Đây là một dãy số geometric với số hạng đầu tiên $a = \frac{5}{9}$ và công bội $r = \frac{1}{9}$. Tổng của dãy số geometric vô hạn là: \[ S = \frac{a}{1 - r} = \frac{\frac{5}{9}}{1 - \frac{1}{9}} = \frac{\frac{5}{9}}{\frac{8}{9}} = \frac{5}{8} \] Vậy tổng diện tích của tất cả các hình $H_n$ là: \[ S = \frac{5}{8} \] Câu 4. Để giải bài toán này, chúng ta sẽ làm theo các bước sau: 1. Tìm điều kiện xác định (ĐKXĐ): - Đối với $\log_2(1 - a^2 - b^2 + 2b)$, ta cần $1 - a^2 - b^2 + 2b > 0$. - Đối với $\frac{2^a}{4^a + 1}$, $\frac{4^a}{2^a + 1}$, $\frac{1}{2^a + 4^a}$, các biểu thức này luôn xác định với mọi $a \in \mathbb{R}$. 2. Xét phương trình: \[ \log_2(1 - a^2 - b^2 + 2b) = \frac{2^a}{4^a + 1} + \frac{4^a}{2^a + 1} + \frac{1}{2^a + 4^a} - \frac{1}{2}. \] 3. Phân tích biểu thức bên phải: - Ta thấy rằng $\frac{2^a}{4^a + 1}$, $\frac{4^a}{2^a + 1}$, $\frac{1}{2^a + 4^a}$ đều là các phân số dương. - Biểu thức $\frac{2^a}{4^a + 1} + \frac{4^a}{2^a + 1} + \frac{1}{2^a + 4^a} - \frac{1}{2}$ cũng là một biểu thức dương vì các phân số dương trừ đi $\frac{1}{2}$ vẫn là số dương. 4. Xét biểu thức bên trái: - $\log_2(1 - a^2 - b^2 + 2b)$ phải là một số thực, do đó $1 - a^2 - b^2 + 2b > 0$. 5. Tìm giá trị của $a$: - Để phương trình có nghiệm, ta cần $1 - a^2 - b^2 + 2b > 0$. - Điều này tương đương với $1 - a^2 > b^2 - 2b$. - Ta thấy rằng $b^2 - 2b = (b-1)^2 - 1$, do đó $1 - a^2 > (b-1)^2 - 1$. - Điều này suy ra $2 - a^2 > (b-1)^2$. - Vì $(b-1)^2 \geq 0$, nên $2 - a^2 > 0$. - Do đó, $a^2 < 2$, suy ra $-\sqrt{2} < a < \sqrt{2}$. 6. Tính số lượng các giá trị của $a$: - Số thực $a$ thuộc đoạn $[-2024, 2024]$ và thỏa mãn $-\sqrt{2} < a < \sqrt{2}$. - Đoạn $[-\sqrt{2}, \sqrt{2}]$ nằm trong đoạn $[-2024, 2024]$. - Số lượng các giá trị của $a$ trong đoạn $[-\sqrt{2}, \sqrt{2}]$ là vô hạn. Vậy có vô số số thực $a$ thuộc đoạn $[-2024, 2024]$ sao cho tồn tại số thực $b$ thỏa mãn phương trình đã cho. Đáp số: Vô số. Câu 5. Lương của chuyên gia trong năm thứ hai là: 240 + 240 x 5 : 100 = 252 (triệu đồng) Lương của chuyên gia trong năm thứ ba là: 252 + 252 x 5 : 100 = 264,6 (triệu đồng) Vậy số tiền mà chuyên gia đó nhận được sau khi làm việc cho công ty 10 năm liên tục là: 240 + 252 + 264,6 + ... + 369,01 (triệu đồng) Ta thấy đây là dãy số cách đều 11,4 Số hạng cuối của dãy là 369,01 Số các số hạng của dãy là: (369,01 - 240) : 11,4 + 1 = 12 (số hạng) Tổng số tiền mà chuyên gia đó nhận được sau khi làm việc cho công ty 10 năm liên tục là: (240 + 369,01) x 12 : 2 = 3654,06 (triệu đồng) Vậy a = 3654,06 Câu 6. Đặt $t=e^{x}, t>0.$ Ta có phương trình $2t^{2}-8t-m=0.$ Phương trình đã cho có 2 nghiệm phân biệt trong khoảng $(0,\ln 5)$ thì phương trình $2t^{2}-8t-m=0$ có 2 nghiệm phân biệt thuộc khoảng $(1,5).$ $\Delta =64+8m>0$ $f(1)>0$ $f(5)>0$ $1< -\frac{-8}{2\times 2}< 5$ Suy ra $-8< m< -6.$ Vậy $a=-8, b=-6.$ $a+b=-14.$