Giúp mình với!

CÂU 15. Để tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (BCD), ta thực hiện các bước sau: 1. Tính thể tích của tứ diện ABCD: - Ta biết rằng các tam giác ABC, ACD, ABD đều là tam giác vuông tại đỉnh A. - Diện tích tam giác ABC: \[ S_{ABC} = \frac{1}{2} \times AB \times AC = \frac{1}{2} \times a \times a\sqrt{2} = \frac{a^2\sqrt{2}}{2} \] - Thể tích của tứ diện ABCD: \[ V_{ABCD} = \frac{1}{3} \times S_{ABC} \times AD = \frac{1}{3} \times \frac{a^2\sqrt{2}}{2} \times a\sqrt{3} = \frac{a^3\sqrt{6}}{6} \] 2. Tính diện tích tam giác BCD: - Ta sử dụng công thức Heron để tính diện tích tam giác BCD. - Độ dài các cạnh của tam giác BCD: \[ BC = \sqrt{AB^2 + AC^2} = \sqrt{a^2 + (a\sqrt{2})^2} = \sqrt{a^2 + 2a^2} = a\sqrt{3} \] \[ BD = \sqrt{AB^2 + AD^2} = \sqrt{a^2 + (a\sqrt{3})^2} = \sqrt{a^2 + 3a^2} = 2a \] \[ CD = \sqrt{AC^2 + AD^2} = \sqrt{(a\sqrt{2})^2 + (a\sqrt{3})^2} = \sqrt{2a^2 + 3a^2} = a\sqrt{5} \] - Nửa chu vi của tam giác BCD: \[ p = \frac{BC + BD + CD}{2} = \frac{a\sqrt{3} + 2a + a\sqrt{5}}{2} \] - Diện tích tam giác BCD: \[ S_{BCD} = \sqrt{p(p - BC)(p - BD)(p - CD)} \] Thay các giá trị vào: \[ S_{BCD} = \sqrt{\left(\frac{a\sqrt{3} + 2a + a\sqrt{5}}{2}\right)\left(\frac{a\sqrt{3} + 2a + a\sqrt{5}}{2} - a\sqrt{3}\right)\left(\frac{a\sqrt{3} + 2a + a\sqrt{5}}{2} - 2a\right)\left(\frac{a\sqrt{3} + 2a + a\sqrt{5}}{2} - a\sqrt{5}\right)} \] Kết quả cuối cùng: \[ S_{BCD} = \frac{a^2\sqrt{6}}{2} \] 3. Tính khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (BCD): - Thể tích của tứ diện ABCD cũng có thể được viết dưới dạng: \[ V_{ABCD} = \frac{1}{3} \times S_{BCD} \times d \] - Thay các giá trị đã biết: \[ \frac{a^3\sqrt{6}}{6} = \frac{1}{3} \times \frac{a^2\sqrt{6}}{2} \times d \] - Giải phương trình để tìm d: \[ \frac{a^3\sqrt{6}}{6} = \frac{a^2\sqrt{6}}{6} \times d \] \[ d = a \] Vậy khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (BCD) là \(d = a\).