Giúp mình với! Bài 18. Cho hình thang cân ABCD có $\widehat D=60^0,$ DB là,phân giác của $\widehat D.$ Biết chu vi hình thang bằng 20cm. Tính,đô dài các canh hình thang.

Question

hmt · Accepted Answer

Bài 18:

Vi ABCD là hình thang cân nên $\widehat{\mathrm{C}}=\widehat{\mathrm{D}}=60^{\circ}$ và

$\widehat{\mathrm{A}}=\widehat{\mathrm{B}}=180^{\circ}-60^{\circ}=120^{\circ}$
Ta có $\widehat{\mathrm{ADB}}=\widehat{\mathrm{CDB}}$ (vì DB là phân giác $\widehat{D}$ )
Mà $\widehat{\mathrm{CDB}}=\widehat{\mathrm{ABD}}$ (so le trong) $\Rightarrow \widehat{\mathrm{ABD}}=\widehat{\mathrm{ADB}}=\widehat{\mathrm{CDB}}=30^{\circ}$
$\Rightarrow$ Tam giác ABD cân tại $\mathrm{A} \Rightarrow \mathrm{AB}=\mathrm{AD}=\mathrm{BC}$
Gọi I là giao điểm của AD và BC , dễ dàng chứng minh $\quad riangle \mathrm{ICD}$ đều (có hai góc bằng $60^{\circ}$ ) và B là trung điểm IC (vì DB là đường phân giác góc D , cũng là đường trung tuyến trong $ riangle I D C)$. Do đó $C D=I C=2 B C$.
Đặt $\mathrm{AB}=\mathrm{a} \Rightarrow \mathrm{BC}=\mathrm{AD}=\mathrm{AB}=\mathrm{a}$ và $\mathrm{CD}=2 \mathrm{a}$.
Chu vi hình thang $A B C D: A B+B C+C D+A D=5 a=20 \mathrm{~cm}$

$$
\begin{aligned}
& \Rightarrow \mathrm{a}=4 \mathrm{~cm} \
& \Rightarrow \mathrm{AB}=\mathrm{BC}=\mathrm{AD}=4 \mathrm{~cm} ext { và } \mathrm{CD}=8 \mathrm{~cm}
\end{aligned}
$$

Timi · Answer

Bài 18.
Trước tiên, ta nhận thấy rằng hình thang cân ABCD có $\widehat{D} = 60^\circ$ và DB là phân giác của $\widehat{D}$. Điều này có nghĩa là $\widehat{ADB} = \widehat{BDC} = 30^\circ$.

Do hình thang cân, ta có AB = CD và AD = BC. Ta gọi độ dài AB = CD = x và AD = BC = y.

Chu vi của hình thang là tổng các cạnh, tức là:
$$ AB + BC + CD + DA = x + y + x + y = 2x + 2y = 20 $$
$$ x + y = 10 $$

Tiếp theo, ta xét tam giác ADB. Vì $\widehat{ADB} = 30^\circ$ và $\widehat{DAB} = 60^\circ$, ta có $\widehat{ABD} = 90^\circ$. Do đó, tam giác ADB là tam giác vuông cân tại B.

Trong tam giác vuông cân, ta có:
$$ AB = BD \cdot \sin(30^\circ) = BD \cdot \frac{1}{2} $$
$$ AD = BD \cdot \cos(30^\circ) = BD \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} $$

Vì AB = CD và AD = BC, ta có:
$$ x = BD \cdot \frac{1}{2} $$
$$ y = BD \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} $$

Từ đây, ta có:
$$ x + y = BD \cdot \left( \frac{1}{2} + \frac{\sqrt{3}}{2} \right) = BD \cdot \frac{1 + \sqrt{3}}{2} = 10 $$
$$ BD = \frac{20}{1 + \sqrt{3}} $$

Rationalizing the denominator:
$$ BD = \frac{20}{1 + \sqrt{3}} \cdot \frac{1 - \sqrt{3}}{1 - \sqrt{3}} = \frac{20(1 - \sqrt{3})}{1 - 3} = \frac{20(1 - \sqrt{3})}{-2} = -10(1 - \sqrt{3}) = 10(\sqrt{3} - 1) $$

Do đó:
$$ x = BD \cdot \frac{1}{2} = 10(\sqrt{3} - 1) \cdot \frac{1}{2} = 5(\sqrt{3} - 1) $$
$$ y = BD \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 10(\sqrt{3} - 1) \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 5\sqrt{3}(\sqrt{3} - 1) = 5(3 - \sqrt{3}) = 15 - 5\sqrt{3} $$

Vậy độ dài các cạnh của hình thang là:
$$ AB = CD = 5(\sqrt{3} - 1) $$
$$ AD = BC = 15 - 5\sqrt{3} $$