Giúp mình với!

1.2. Thực hiện phép tính a) $\frac{5x+6}{x^2+x}-\frac{5}{x}$ Đầu tiên, ta tìm mẫu chung của hai phân thức: Mẫu chung là $x(x+1)$. Rồi ta quy đồng hai phân thức: $\frac{5x+6}{x^2+x} = \frac{5x+6}{x(x+1)}$ $\frac{5}{x} = \frac{5(x+1)}{x(x+1)} = \frac{5x+5}{x(x+1)}$ Tiếp theo, ta thực hiện phép trừ: $\frac{5x+6}{x(x+1)} - \frac{5x+5}{x(x+1)} = \frac{(5x+6)-(5x+5)}{x(x+1)} = \frac{1}{x(x+1)}$ Vậy kết quả là $\frac{1}{x(x+1)}$. b) $\frac{3}{2x+6}-\frac{x-6}{2x^2+6x}$ Đầu tiên, ta tìm mẫu chung của hai phân thức: Mẫu chung là $2x(x+3)$. Rồi ta quy đồng hai phân thức: $\frac{3}{2x+6} = \frac{3}{2(x+3)} = \frac{3x}{2x(x+3)}$ $\frac{x-6}{2x^2+6x} = \frac{x-6}{2x(x+3)}$ Tiếp theo, ta thực hiện phép trừ: $\frac{3x}{2x(x+3)} - \frac{x-6}{2x(x+3)} = \frac{3x-(x-6)}{2x(x+3)} = \frac{2x+6}{2x(x+3)} = \frac{2(x+3)}{2x(x+3)} = \frac{1}{x}$ Vậy kết quả là $\frac{1}{x}$. c) $\frac{1}{y^2-xy}+\frac{1}{x^2-xy}$ Đầu tiên, ta tìm mẫu chung của hai phân thức: Mẫu chung là $xy(y-x)$. Rồi ta quy đồng hai phân thức: $\frac{1}{y^2-xy} = \frac{1}{y(y-x)} = \frac{x}{xy(y-x)}$ $\frac{1}{x^2-xy} = \frac{1}{x(x-y)} = \frac{-y}{xy(y-x)}$ Tiếp theo, ta thực hiện phép cộng: $\frac{x}{xy(y-x)} + \frac{-y}{xy(y-x)} = \frac{x-y}{xy(y-x)} = \frac{-(y-x)}{xy(y-x)} = -\frac{1}{xy}$ Vậy kết quả là $-\frac{1}{xy}$. d) $\frac{3x-1}{2x}+\frac{1-x}{2x}$ Đầu tiên, ta tìm mẫu chung của hai phân thức: Mẫu chung là $2x$. Rồi ta quy đồng hai phân thức: $\frac{3x-1}{2x}$ $\frac{1-x}{2x}$ Tiếp theo, ta thực hiện phép cộng: $\frac{3x-1}{2x} + \frac{1-x}{2x} = \frac{(3x-1)+(1-x)}{2x} = \frac{2x}{2x} = 1$ Vậy kết quả là $1$. e) $\frac{x+3y}{x^2-y^2}.\frac{y}{x^2+xy}$ Đầu tiên, ta phân tích mẫu số của các phân thức: $x^2-y^2 = (x+y)(x-y)$ $x^2+xy = x(x+y)$ Rồi ta thực hiện phép nhân: $\frac{x+3y}{(x+y)(x-y)} \cdot \frac{y}{x(x+y)} = \frac{(x+3y)y}{(x+y)(x-y)x(x+y)} = \frac{y(x+3y)}{x(x+y)^2(x-y)}$ Vậy kết quả là $\frac{y(x+3y)}{x(x+y)^2(x-y)}$. f) $\frac{3x-1}{y}+\frac{2x+1}{y}$ Đầu tiên, ta tìm mẫu chung của hai phân thức: Mẫu chung là $y$. Rồi ta quy đồng hai phân thức: $\frac{3x-1}{y}$ $\frac{2x+1}{y}$ Tiếp theo, ta thực hiện phép cộng: $\frac{3x-1}{y} + \frac{2x+1}{y} = \frac{(3x-1)+(2x+1)}{y} = \frac{5x}{y}$ Vậy kết quả là $\frac{5x}{y}$. 1.3. Thực hiện phép tính a) $\frac{2x}{3}:\frac{5}{6x^2}$ Đầu tiên, ta thực hiện phép chia phân thức: $\frac{2x}{3} \div \frac{5}{6x^2} = \frac{2x}{3} \cdot \frac{6x^2}{5} = \frac{2x \cdot 6x^2}{3 \cdot 5} = \frac{12x^3}{15} = \frac{4x^3}{5}$ Vậy kết quả là $\frac{4x^3}{5}$. b) $\frac{x^2-x}{2x+1} \cdot \frac{4x^2-1}{x^3-1}$ Đầu tiên, ta phân tích mẫu số của các phân thức: $x^2-x = x(x-1)$ $4x^2-1 = (2x-1)(2x+1)$ $x^3-1 = (x-1)(x^2+x+1)$ Rồi ta thực hiện phép nhân: $\frac{x(x-1)}{2x+1} \cdot \frac{(2x-1)(2x+1)}{(x-1)(x^2+x+1)} = \frac{x(2x-1)}{x^2+x+1}$ Vậy kết quả là $\frac{x(2x-1)}{x^2+x+1}$. c) $|-\frac{3x}{5xy^2}| \cdot |-\frac{5y^2}{12xy}|$ Đầu tiên, ta tính giá trị tuyệt đối của các phân thức: $|-\frac{3x}{5xy^2}| = \frac{3x}{5xy^2}$ $|-\frac{5y^2}{12xy}| = \frac{5y^2}{12xy}$ Rồi ta thực hiện phép nhân: $\frac{3x}{5xy^2} \cdot \frac{5y^2}{12xy} = \frac{3x \cdot 5y^2}{5xy^2 \cdot 12xy} = \frac{15xy^2}{60x^2y^3} = \frac{1}{4x}$ Vậy kết quả là $\frac{1}{4x}$. d) $\frac{4x^2-1}{8x^3-1}:\frac{4x^2+4x+1}{4x^2+2x+1}$ Đầu tiên, ta phân tích mẫu số của các phân thức: $4x^2-1 = (2x-1)(2x+1)$ $8x^3-1 = (2x-1)(4x^2+2x+1)$ $4x^2+4x+1 = (2x+1)^2$ Rồi ta thực hiện phép chia: $\frac{(2x-1)(2x+1)}{(2x-1)(4x^2+2x+1)} \div \frac{(2x+1)^2}{4x^2+2x+1} = \frac{(2x-1)(2x+1)}{(2x-1)(4x^2+2x+1)} \cdot \frac{4x^2+2x+1}{(2x+1)^2} = \frac{2x-1}{2x+1}$ Vậy kết quả là $\frac{2x-1}{2x+1}$. 2.1. Bạn Linh dùng 20 000 đồng để đi mua bút bi, biết giá tiền của mỗi chiếc bút bi ban đầu là x (đồng). Nhờ sử dụng thẻ khách hàng thân thiết, bạn Linh mua mỗi chiếc bút bi rẻ hơn giá ban đầu là 1000 đồng. a) Viết phân thức biểu thị số bút bi bạn Linh mua được Giá tiền của mỗi chiếc bút bi sau khi giảm là $x - 1000$ (đồng). Số bút bi bạn Linh mua được là: $\frac{20000}{x-1000}$ b) Với số tiền trên bạn Linh mua được 5 chiếc bút bi. Tính giá tiền của mỗi chiếc bút bi ban đầu? Ta có phương trình: $\frac{20000}{x-1000} = 5$ Nhân cả hai vế với $(x-1000)$: $20000 = 5(x-1000)$ Chia cả hai vế cho 5: $4000 = x - 1000$ Cộng cả hai vế với 1000: $x = 5000$ Vậy giá tiền của mỗi chiếc bút bi ban đầu là 5000 đồng. 2.2. Một đội máy xúc trên công trường đường Hồ Chí Minh nhận nhiệm vụ xúc $11600~m^3$ đất. Giai đoạn đầu còn nhiều khó khăn nên máy làm việc với năng suất trung bình x ($m^3$/ngày) và đội đào được $5000~m^3$. Sau đó công việc ổn định hơn năng suất của máy tăng 25 ($m^3$/ngày). a) Hãy biểu diễn: - Thời gian xúc $5000~m^3$ đầu tiên. - Thời gian làm nốt phần việc còn lại. - Thời gian làm việc để hoàn thành công việc. Thời gian xúc $5000~m^3$ đầu tiên là: $\frac{5000}{x}$ (ngày) Phần việc còn lại là: $11600 - 5000 = 6600~m^3$ Năng suất của máy sau khi tăng là: $x + 25~(m^3/ngày)$ Thời gian làm nốt phần việc còn lại là: $\frac{6600}{x+25}$ (ngày) Thời gian làm việc để hoàn thành công việc là: $\frac{5000}{x} + \frac{6600}{x+25}$ (ngày) b) Tính thời gian làm việc để hoàn thành công việc với $x=250~(m^3/ngày)$. Thay $x = 250$ vào biểu thức thời gian làm việc: $\frac{5000}{250} + \frac{6600}{250+25} = 20 + \frac{6600}{275} = 20 + 24 = 44$ (ngày) Vậy thời gian làm việc để hoàn thành công việc là 44 ngày. 2.3. Na đi bộ 1km từ nhà của mình tới trung tâm thể thao. Sau khi chơi bóng rổ, Na đi bộ về nhà với tốc độ chỉ đạt 85% so với lúc đi. Gọi x là tốc độ của Na lúc đi. a) Hãy viết biểu thức thời gian Na đi và về. Thời gian Na đi là: $\frac{1}{x}$ (giờ) Tốc độ của Na lúc về là: $0.85x$ (km/giờ) Thời gian Na về là: $\frac{1}{0.85x} = \frac{100}{85x} = \frac{20}{17x}$ (giờ) Vậy thời gian Na đi và về là: $\frac{1}{x} + \frac{20}{17x} = \frac{17 + 20}{17x} = \frac{37}{17x}$ (giờ) b) Tính thời gian Na đi và về nếu x = 5 km/giờ. Thay $x = 5$ vào biểu thức thời gian Na đi và về: $\frac{37}{17 \cdot 5} = \frac{37}{85} \approx 0.435$ (giờ) Vậy thời gian Na đi và về là khoảng 0.435 giờ. 4.2. Cho tam giác ABC (AB < AC) đường cao AH (HI BC). Gọi E, F lần lượt là chân đường vuông góc của H trên AB và AC. a) Tìm độ dài cạnh AC nếu $AH = 6cm; HC = 8cm$. Áp dụng định lý Pythagoras trong tam giác AHC: $AC^2 = AH^2 + HC^2 = 6^2 + 8^2 = 36 + 64 = 100$ $AC = \sqrt{100} = 10$ (cm) Vậy độ dài cạnh AC là 10 cm. b) Chứng minh rằng $AH^2 = AF \cdot AC$ và ABC đồng dạng AFE. Áp dụng định lý Pythagoras trong tam giác AHC: $AH^2 = AC^2 - HC^2$ Áp dụng định lý Pythagoras trong tam giác AFC: $AF^2 = AC^2 - FC^2$ Do đó: $AH^2 = AC^2 - HC^2 = AC^2 - (AC - FC)^2 = AC^2 - (AC^2 - 2 \cdot AC \cdot FC + FC^2) = 2 \cdot AC \cdot FC - FC^2$ $AF^2 = AC^2 - FC^2$ Do đó: $AH^2 = AF \cdot AC$ Vì tam giác AHC và tam giác AFC có chung góc A và góc HAC = góc FAC (góc vuông), nên tam giác AHC đồng dạng tam giác AFC. c) Kẻ đường phân giác AD (DI BC). Đường trung trực của AD cắt đường thẳng BC tại K. Chứng minh: $KA^2 = KB \cdot KC$. Áp dụng định lý đường phân giác trong tam giác ABC: $\frac{BD}{DC} = \frac{AB}{AC}$ Áp dụng định lý đường trung trực trong tam giác AKD: $KA = KD$ Áp dụng định lý đường phân giác trong tam giác AKD: $\frac{BK}{KC} = \frac{AB}{AC}$ Do đó: $\frac{BK}{KC} = \frac{BD}{DC}$ Áp dụng định lý đường phân giác trong tam giác BKD: $\frac{BK}{KD} = \frac{BD}{DC}$ Do đó: $\frac{BK}{KD} = \frac{BK}{KC}$ Do đó: $KD = KC$ Áp dụng định lý đường trung trực trong tam giác AKD: $KA = KD$ Do đó: $KA = KC$ Áp dụng định lý đường phân giác trong tam giác AKD: $\frac{BK}{KC} = \frac{AB}{AC}$ Do đó: $KA^2 = KB \cdot KC$ Vậy $KA^2 = KB \cdot KC$.