Giải chi tiết

Câu 1. Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: 1. Thay giá trị ban đầu vào công thức: Ta có công thức giá trị còn lại của chiếc ô tô sau t năm sử dụng là: \[ V(t) = A \cdot (0,905)^t \] Biết rằng giá xe lúc mới mua \( A = 780 \) triệu đồng, ta thay vào: \[ V(t) = 780 \cdot (0,905)^t \] 2. Xác định điều kiện để giá trị còn lại không quá 300 triệu đồng: Ta cần tìm giá trị của \( t \) sao cho: \[ 780 \cdot (0,905)^t \leq 300 \] 3. Chia cả hai vế cho 780 để đơn giản hóa: \[ (0,905)^t \leq \frac{300}{780} \] Tính toán phần tử số: \[ \frac{300}{780} = \frac{5}{13} \approx 0,3846 \] Vậy ta có: \[ (0,905)^t \leq 0,3846 \] 4. Áp dụng phương pháp lôgarit để giải phương trình mũ: Lấy lôgarit tự nhiên (ln) của cả hai vế: \[ \ln((0,905)^t) \leq \ln(0,3846) \] Áp dụng tính chất lôgarit: \[ t \cdot \ln(0,905) \leq \ln(0,3846) \] Tính toán các giá trị lôgarit: \[ \ln(0,905) \approx -0,0998 \] \[ \ln(0,3846) \approx -0,9555 \] Thay vào phương trình: \[ t \cdot (-0,0998) \leq -0,9555 \] Chia cả hai vế cho \(-0,0998\) (nhớ đổi dấu vì chia cho số âm): \[ t \geq \frac{-0,9555}{-0,0998} \approx 9,57 \] 5. Làm tròn kết quả đến hàng đơn vị: Làm tròn lên vì yêu cầu giá trị còn lại không quá 300 triệu đồng: \[ t \approx 10 \] Kết luận: Theo mô hình này, sau khoảng 10 năm sử dụng thì giá trị của chiếc xe đó còn lại không quá 300 triệu đồng. Câu 2. Trước tiên, ta xác định các thông tin đã cho: - Đáy của lăng trụ đứng ABC.A'B'C' là tam giác vuông cân tại B. - AC = 2a. - A'B = 3a. Do đó, ta có thể suy ra: 1. Vì ABC là tam giác vuông cân tại B, nên AB = BC và góc ABC = 90°. 2. Ta tính AB và BC bằng cách sử dụng định lý Pythagoras trong tam giác ABC: \[ AC^2 = AB^2 + BC^2 \] \[ (2a)^2 = AB^2 + AB^2 \] \[ 4a^2 = 2AB^2 \] \[ AB^2 = 2a^2 \] \[ AB = a\sqrt{2} \] 3. Vì lăng trụ đứng, nên A'B' = AB = a√2 và B'C' = BC = a√2. Tiếp theo, ta xác định góc phẳng nhị diện [B', AC, B]. 4. Ta vẽ đường cao từ B' xuống mặt phẳng (ABC) và giao điểm là H. Vì lăng trụ đứng, nên B'H vuông góc với mặt phẳng (ABC). 5. Ta xác định góc giữa đường thẳng B'H và đường thẳng AC. Góc này chính là góc phẳng nhị diện [B', AC, B]. 6. Ta tính khoảng cách từ B' đến AC. Vì B' là đỉnh của lăng trụ đứng, nên B' nằm trên đường thẳng vuông góc với mặt phẳng (ABC) đi qua B. Do đó, B'H = A'B = 3a. 7. Ta xác định góc giữa B'H và AC. Vì B'H vuông góc với mặt phẳng (ABC), nên góc giữa B'H và AC chính là góc giữa B'H và hình chiếu của AC lên mặt phẳng (ABC). 8. Hình chiếu của AC lên mặt phẳng (ABC) chính là AC. Do đó, góc giữa B'H và AC chính là góc giữa B'H và AC. 9. Ta tính góc giữa B'H và AC bằng cách sử dụng công thức cosin trong tam giác B'HA: \[ \cos(\theta) = \frac{B'H}{B'A'} \] \[ \cos(\theta) = \frac{3a}{3a} \] \[ \cos(\theta) = 1 \] \[ \theta = 0° \] Tuy nhiên, do B'H vuông góc với mặt phẳng (ABC), nên góc giữa B'H và AC chính là 90°. Vậy góc phẳng nhị diện [B', AC, B] là 90°. Câu 3. Trước tiên, ta xác định hình chiếu trực giao của điểm $C$ lên đường thẳng $A_1B$. Gọi hình chiếu đó là $H$. Ta sẽ tính khoảng cách từ điểm $C$ đến đường thẳng $A_1B$, sau đó tính khoảng cách từ điểm $M$ đến đường thẳng $A_1B$. 1. Xác định hình chiếu trực giao của điểm $C$ lên đường thẳng $A_1B$: - Vì lăng trụ tam giác đều, ta có $A_1B$ vuông góc với mặt phẳng $(ABC)$ tại $B$. - Do đó, hình chiếu trực giao của điểm $C$ lên đường thẳng $A_1B$ là điểm $B$. 2. Tính khoảng cách từ điểm $C$ đến đường thẳng $A_1B$: - Khoảng cách từ điểm $C$ đến đường thẳng $A_1B$ là khoảng cách từ điểm $C$ đến điểm $B$, tức là độ dài đoạn thẳng $CB$. - Vì $ABC$ là tam giác đều cạnh $6$, nên $CB = 6$. 3. Tính khoảng cách từ điểm $M$ đến đường thẳng $A_1B$: - Điểm $M$ là trung điểm của $AA_1$, do đó $AM = \frac{AA_1}{2}$. - Vì lăng trụ tam giác đều, ta có $AA_1 = AB = 6$, nên $AM = \frac{6}{2} = 3$. - Khoảng cách từ điểm $M$ đến đường thẳng $A_1B$ là khoảng cách từ điểm $M$ đến điểm $B$, tức là độ dài đoạn thẳng $MB$. - Ta có $MB = \sqrt{AM^2 + AB^2} = \sqrt{3^2 + 6^2} = \sqrt{9 + 36} = \sqrt{45} = 3\sqrt{5}$. 4. Tính khoảng cách giữa đường thẳng $CM$ và $A_1B$: - Khoảng cách giữa đường thẳng $CM$ và $A_1B$ là khoảng cách từ điểm $C$ đến đường thẳng $A_1B$ trừ đi khoảng cách từ điểm $M$ đến đường thẳng $A_1B$. - Ta có khoảng cách từ điểm $C$ đến đường thẳng $A_1B$ là $6$. - Ta có khoảng cách từ điểm $M$ đến đường thẳng $A_1B$ là $3\sqrt{5}$. - Khoảng cách giữa đường thẳng $CM$ và $A_1B$ là $6 - 3\sqrt{5}$. 5. Làm tròn kết quả đến hàng phần trăm: - Ta có $3\sqrt{5} \approx 6.708$. - Khoảng cách giữa đường thẳng $CM$ và $A_1B$ là $6 - 6.708 = -0.708$. Do đó, khoảng cách giữa đường thẳng $CM$ và $A_1B$ là $\boxed{0.71}$.