giảiiiiiii

Câu 5. a) Ta có $f(x)=4x^3+x$. Tính $\int f(x) dx$, ta có: \[ \int f(x) dx = \int (4x^3 + x) dx = 4 \int x^3 dx + \int x dx = 4 \cdot \frac{x^4}{4} + \frac{x^2}{2} + C = x^4 + \frac{x^2}{2} + C \] Do đó, $F(x) = x^4 + \frac{x^2}{2} + C$. Tính $\int_3 f(x) dx$ từ 0 đến 3: \[ \int_3 f(x) dx = F(3) - F(0) = (3^4 + \frac{3^2}{2}) - (0^4 + \frac{0^2}{2}) = 81 + \frac{9}{2} = 81 + 4.5 = 85.5 \] Vậy khẳng định a) sai vì $\int_3 f(x) dx = 85.5$ chứ không phải 552. b) Kiểm tra xem $F(x) = x^2 + \frac{x^2}{2} - 2025$ có phải là nguyên hàm của $f(x) = 4x^3 + x$ hay không: \[ F'(x) = \frac{d}{dx}(x^2 + \frac{x^2}{2} - 2025) = 2x + x = 3x \] Vì $F'(x) = 3x$ khác $f(x) = 4x^3 + x$, nên khẳng định b) sai. c) Biết $F(1) = 4$, ta có: \[ F(1) = 1^4 + \frac{1^2}{2} + C = 1 + \frac{1}{2} + C = 4 \] \[ 1 + 0.5 + C = 4 \Rightarrow C = 2.5 \] Do đó, $F(x) = x^4 + \frac{x^2}{2} + 2.5$. Tính $F(2)$: \[ F(2) = 2^4 + \frac{2^2}{2} + 2.5 = 16 + 2 + 2.5 = 20.5 \] Vậy khẳng định c) sai vì $F(2) = 20.5$ chứ không phải $\frac{31}{2}$. d) Tính $\int_{-1}^{1} |f(x)| dx$: \[ f(x) = 4x^3 + x \] Trên khoảng $[-1, 1]$, $f(x)$ có dấu âm ở khoảng $(-1, 0)$ và dương ở khoảng $(0, 1)$. Do đó: \[ \int_{-1}^{1} |f(x)| dx = \int_{-1}^{0} -(4x^3 + x) dx + \int_{0}^{1} (4x^3 + x) dx \] \[ = \left[ -x^4 - \frac{x^2}{2} \right]_{-1}^{0} + \left[ x^4 + \frac{x^2}{2} \right]_{0}^{1} \] \[ = \left( 0 - (-1^4 - \frac{(-1)^2}{2}) \right) + \left( 1^4 + \frac{1^2}{2} - 0 \right) \] \[ = \left( 0 - (-1 - \frac{1}{2}) \right) + \left( 1 + \frac{1}{2} \right) \] \[ = \left( 0 - (-1.5) \right) + \left( 1.5 \right) \] \[ = 1.5 + 1.5 = 3 \] Vậy khẳng định d) sai vì $\int_{-1}^{1} |f(x)| dx = 3$ chứ không phải $\frac{39}{2}$. Đáp án: a) Sai, b) Sai, c) Sai, d) Sai. Câu 1. Để tính quãng đường ô tô di chuyển được trong 8 giây cuối cùng, ta cần xác định thời điểm bắt đầu đạp phanh và thời điểm dừng lại của ô tô. 1. Xác định thời điểm dừng lại của ô tô: - Vận tốc của ô tô theo thời gian được mô tả bởi phương trình: \( v(t) = -2t + 10 \). - Ô tô dừng lại khi \( v(t) = 0 \): \[ -2t + 10 = 0 \\ 2t = 10 \\ t = 5 \text{ (giây)} \] Vậy, ô tô dừng lại sau 5 giây kể từ khi bắt đầu đạp phanh. 2. Xác định thời điểm bắt đầu đạp phanh: - Thời điểm bắt đầu đạp phanh là \( t = 0 \). 3. Tính quãng đường ô tô di chuyển được trong 8 giây cuối cùng: - Vì ô tô dừng lại sau 5 giây, nên 8 giây cuối cùng sẽ bao gồm toàn bộ quãng đường từ thời điểm bắt đầu đạp phanh đến thời điểm dừng lại. - Ta tính quãng đường ô tô di chuyển được trong 5 giây bằng cách tích phân vận tốc theo thời gian: \[ s = \int_{0}^{5} v(t) \, dt = \int_{0}^{5} (-2t + 10) \, dt \] - Thực hiện tích phân: \[ s = \left[ -t^2 + 10t \right]_{0}^{5} = \left( -(5)^2 + 10 \cdot 5 \right) - \left( -(0)^2 + 10 \cdot 0 \right) \] \[ s = \left( -25 + 50 \right) - 0 = 25 \text{ (mét)} \] Vậy, quãng đường ô tô di chuyển được trong 8 giây cuối cùng là 25 mét. Câu 2. Để tính \( B = \int_{2}^{6} (x^2 - 3x + 3 + 2024m) \, dx \), trước tiên chúng ta cần tìm giá trị của \( m \) từ \( A = \int_{3}^{6} (x^2 - x + 2024m) \, dx = 5 \). Bước 1: Tính \( A \) \[ A = \int_{3}^{6} (x^2 - x + 2024m) \, dx \] Tính tích phân từng phần: \[ \int_{3}^{6} x^2 \, dx = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{3}^{6} = \frac{6^3}{3} - \frac{3^3}{3} = \frac{216}{3} - \frac{27}{3} = 72 - 9 = 63 \] \[ \int_{3}^{6} x \, dx = \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{3}^{6} = \frac{6^2}{2} - \frac{3^2}{2} = \frac{36}{2} - \frac{9}{2} = 18 - 4.5 = 13.5 \] \[ \int_{3}^{6} 2024m \, dx = 2024m \int_{3}^{6} 1 \, dx = 2024m [x]_{3}^{6} = 2024m (6 - 3) = 2024m \cdot 3 = 6072m \] Do đó: \[ A = 63 - 13.5 + 6072m = 49.5 + 6072m \] Theo đề bài, \( A = 5 \): \[ 49.5 + 6072m = 5 \] \[ 6072m = 5 - 49.5 \] \[ 6072m = -44.5 \] \[ m = \frac{-44.5}{6072} = \frac{-89}{12144} \] Bước 2: Tính \( B \) \[ B = \int_{2}^{6} (x^2 - 3x + 3 + 2024m) \, dx \] Tính tích phân từng phần: \[ \int_{2}^{6} x^2 \, dx = \left[ \frac{x^3}{3} \right]_{2}^{6} = \frac{6^3}{3} - \frac{2^3}{3} = \frac{216}{3} - \frac{8}{3} = 72 - 2.67 = 69.33 \] \[ \int_{2}^{6} 3x \, dx = 3 \int_{2}^{6} x \, dx = 3 \left[ \frac{x^2}{2} \right]_{2}^{6} = 3 \left( \frac{6^2}{2} - \frac{2^2}{2} \right) = 3 \left( \frac{36}{2} - \frac{4}{2} \right) = 3 \left( 18 - 2 \right) = 3 \times 16 = 48 \] \[ \int_{2}^{6} 3 \, dx = 3 \int_{2}^{6} 1 \, dx = 3 [x]_{2}^{6} = 3 (6 - 2) = 3 \times 4 = 12 \] \[ \int_{2}^{6} 2024m \, dx = 2024m \int_{2}^{6} 1 \, dx = 2024m [x]_{2}^{6} = 2024m (6 - 2) = 2024m \cdot 4 = 8096m \] Do đó: \[ B = 69.33 - 48 + 12 + 8096m = 33.33 + 8096m \] Thay \( m = \frac{-89}{12144} \): \[ B = 33.33 + 8096 \left( \frac{-89}{12144} \right) = 33.33 - \frac{8096 \times 89}{12144} = 33.33 - \frac{719344}{12144} = 33.33 - 59.23 = -25.9 \] Vậy giá trị của \( B \) là: \[ B = -25.9 \] Câu 3. Để tìm phương trình mặt phẳng (P) đi qua điểm \( M(2;3;-1) \) và song song với giá của hai vectơ \( \vec{u} = (1;1;0) \) và \( \vec{v} = (1;2;-3) \), ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Tìm vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P). Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (P) là vectơ vuông góc với cả hai vectơ \( \vec{u} \) và \( \vec{v} \). Ta tính tích có hướng của hai vectơ này để tìm vectơ pháp tuyến. \[ \vec{n} = \vec{u} \times \vec{v} \] \[ \vec{n} = \begin{vmatrix} \vec{i} & \vec{j} & \vec{k} \\ 1 & 1 & 0 \\ 1 & 2 & -3 \end{vmatrix} = \vec{i}(1 \cdot (-3) - 0 \cdot 2) - \vec{j}(1 \cdot (-3) - 0 \cdot 1) + \vec{k}(1 \cdot 2 - 1 \cdot 1) = \vec{i}(-3) - \vec{j}(-3) + \vec{k}(1) = (-3; 3; 1) \] Bước 2: Viết phương trình mặt phẳng (P). Phương trình mặt phẳng (P) có dạng \( ax + by + cz + d = 0 \), trong đó \( (a, b, c) \) là các thành phần của vectơ pháp tuyến \( \vec{n} \). Do đó, ta có: \[ -3x + 3y + z + d = 0 \] Bước 3: Xác định tham số \( d \) bằng cách thay tọa độ điểm \( M(2;3;-1) \) vào phương trình mặt phẳng. \[ -3(2) + 3(3) + (-1) + d = 0 \] \[ -6 + 9 - 1 + d = 0 \] \[ 2 + d = 0 \] \[ d = -2 \] Vậy phương trình mặt phẳng (P) là: \[ -3x + 3y + z - 2 = 0 \] Bước 4: So sánh với phương trình đã cho \( ax + by + cz + 2 = 0 \). Ta thấy rằng phương trình \( -3x + 3y + z - 2 = 0 \) có thể viết lại dưới dạng \( -3x + 3y + z + 2 = 0 \) bằng cách thêm 4 vào cả hai vế. Do đó, ta có: \[ a = -3, \quad b = 3, \quad c = 1 \] Bước 5: Tính \( a - b + c \). \[ a - b + c = -3 - 3 + 1 = -5 \] Vậy giá trị của \( a - b + c \) là \(\boxed{-5}\). Câu 4. Diện tích thiết diện là: $S(x)=\frac{(2\sqrt{1-x^2})^2\sqrt{3}}{4}=(1-x^2)\sqrt{3}$ Thể tích của vật thể là: $V=\int_{-1}^{1}S(x)dx=\int_{-1}^{1}(1-x^2)\sqrt{3}dx=\sqrt{3}\int_{-1}^{1}(1-x^2)dx$ $=\sqrt{3}\left | x-\frac{x^3}{3} \right |_{-1}^{1}= \frac{4\sqrt{3}}{3}\approx 2,31$