Câu 4. (1,5điểm) Cho AABC cân tại A có BE và CF là các đường cao. Cho tam giác ABC cân tại A (góc A BH + CH. Tam giác ABC cân tại A có hai đường phân giác BE và CF. Chứng minh BE = CF

Question

Câu 4. (1,5điểm) Cho AABC cân tại A có BE và CF là các đường cao. Cho tam giác ABC cân tại A (góc A < 90 độ)
a) Chứng minh BE = CF.
b) Gọi H là giao điểm của BE và CF. Chứng minh BE + BF > BH + CH.
Tam giác ABC cân tại A có hai đường phân giác BE và CF. Chứng minh BE = CF

Accepted Answer

a) Xét tam giác ABE và tam giác ACF, ta có:

$\displaystyle AB\ =\ AC$ (tam giác ABC cân tại A)

$\displaystyle \hat{A} \ $chung

$\displaystyle \widehat{AEB} =\widehat{AFC} =90^{0}$ (BE và CF là đường cao)

Vậy$\displaystyle \ \Delta ABE\ =\ \Delta ACF$ (g.c.g)

Suy ra, $\displaystyle BE=\ CF$ (hai cạnh tương ứng)

b) Vì tam giác ABC cân tại A

BE,CF là hai đường cao

$\displaystyle \Rightarrow $ H là trực tâm của tam giác ABC

$\displaystyle \Rightarrow $AH là đường cao thứ ba của tam giác ABC.

Vì tam giác ABC cân tại A nên AH cũng là đường trung tuyến của tam giác ABC.

$\displaystyle \Rightarrow BH\ =\ CH.$

Xét tam giác BEF có:

$\displaystyle BE\ +\ BF\ >\ EF$ (bất đẳng thức tam giác)

Xét tam giác BHC có:

$\displaystyle BH\ +\ CH\ >\ BC$ (bất đẳng thức tam giác)

Vì$\displaystyle \ EF\ //\ BC$ (cùng vuông góc với AH)

nên $\displaystyle EF\ < \ BC.$

$\displaystyle \Rightarrow BE\ +\ BF\ >\ BH\ +\ CH.$

Câu 4. (1,5điểm) Cho AABC cân tại A có BE và CF là các đường cao. Cho tam giác ABC cân tại A (góc A < 90 độ) a) Chứng minh BE = CF. b) Gọi H là giao điểm của BE và CF. Chứng minh BE + BF > BH + CH. Tam...