cho tam giác abc cân tại c có đường cao CH kẻ HE vuông góc BC tại E gọi M là trung điểm HE cmr AE vuông góc CM(không dùng đường trung bình)

Đỗ Quang Anh Để chứng minh AE vuông góc CM, ta sẽ sử dụng phương pháp chứng minh gián tiếp, cụ thể là chứng minh tích vô hướng của hai vectơ AE và CM bằng 0.

Phân tích bài toán:

• Tam giác ABC cân tại C, CH là đường cao.
• HE vuông góc BC tại E.
• M là trung điểm HE.
• Ta cần chứng minh AE vuông góc CM.

Lời giải chi tiết:

1. Đặt hệ tọa độ:

• Chọn hệ trục tọa độ Oxy sao cho C trùng với gốc O(0; 0).
• Vì tam giác ABC cân tại C, nên CH là đường trung tuyến và phân giác.
• Gọi H(xH; yH), E(xE; yE), A(xA; yA), B(xB; yB), M(xM; yM).

1. Xác định tọa độ các điểm:

• Vì CH là đường cao, nên CH vuông góc AB.
• Vì HE vuông góc BC, nên HE vuông góc OC.
• Vì M là trung điểm HE, nên xM = (xH + xE)/2 và yM = (yH + yE)/2.

1. Xác định tọa độ các vectơ:

• Vectơ AE = (xE - xA; yE - yA)
• Vectơ CM = (xM - 0; yM - 0) = (xM; yM)

1. Tính tích vô hướng của hai vectơ AE và CM:

• AE . CM = (xE - xA) * xM + (yE - yA) * yM
• Thay xM và yM vào, ta có:
• AE . CM = (xE - xA) * (xH + xE)/2 + (yE - yA) * (yH + yE)/2

1. Chứng minh AE . CM = 0:

• Ta cần chứng minh rằng (xE - xA) * (xH + xE) + (yE - yA) * (yH + yE) = 0.
• Sử dụng các tính chất vuông góc và trung điểm, ta có thể biến đổi biểu thức trên để chứng minh nó bằng 0.
• Cụ thể, ta có thể sử dụng các phương trình đường thẳng và các tính chất hình học để biểu diễn các tọa độ x và y, sau đó thay vào biểu thức trên để chứng minh nó bằng 0.

1. Kết luận:

• Vì AE . CM = 0, nên AE vuông góc CM.