Giải kỹ hộ tui nhé Câu 29: Trong không gian Oxyz , cho 4 điểm $A(2;0;0),~B(0;2;0),~C(0;0;2),~D(2;2;2).$,a) Viết phương trình mặt phẳng (BCD).,b) Tính chiều cao của hình chóp A.BCD.

Question

Accepted Answer

Câu 29:
a) Ta có $\overrightarrow{BC} = (-2; -2; 2)$ và $\overrightarrow{BD} = (2; 0; 2)$. 
Phương trình mặt phẳng (BCD) có dạng $ax + by + cz = d$, trong đó $(a, b, c)$ là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng này. Ta tìm vectơ pháp tuyến bằng cách tính tích có hướng của $\overrightarrow{BC}$ và $\overrightarrow{BD}$:
$$
\overrightarrow{n} = \overrightarrow{BC} \times \overrightarrow{BD} = \begin{vmatrix}
\mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \
-2 & -2 & 2 \
2 & 0 & 2
\end{vmatrix} = \mathbf{i}(-2 \cdot 2 - 2 \cdot 0) - \mathbf{j}(-2 \cdot 2 - 2 \cdot 2) + \mathbf{k}(-2 \cdot 0 - (-2) \cdot 2)
= \mathbf{i}(-4) - \mathbf{j}(-8) + \mathbf{k}(4)
= (-4, 8, 4)
$$
Do đó, phương trình mặt phẳng (BCD) là:
$$
-4x + 8y + 4z = d
$$
Thay tọa độ của điểm B(0; 2; 0) vào phương trình trên để tìm d:
$$
-4 \cdot 0 + 8 \cdot 2 + 4 \cdot 0 = d \implies d = 16
$$
Vậy phương trình mặt phẳng (BCD) là:
$$
-4x + 8y + 4z = 16 \quad \text{hay} \quad x - 2y - z = -4
$$

b) Để tính chiều cao của hình chóp A.BCD, ta cần tìm khoảng cách từ điểm A đến mặt phẳng (BCD). Phương trình mặt phẳng (BCD) đã tìm được là $x - 2y - z = -4$.

Khoảng cách từ điểm A(2; 0; 0) đến mặt phẳng này được tính bằng công thức:
$$
d = \frac{|ax_1 + by_1 + cz_1 + d|}{\sqrt{a^2 + b^2 + c^2}}
$$
Trong đó, $(a, b, c) = (1, -2, -1)$ và $d = 4$. Thay tọa độ của điểm A vào:
$$
d = \frac{|1 \cdot 2 + (-2) \cdot 0 + (-1) \cdot 0 + 4|}{\sqrt{1^2 + (-2)^2 + (-1)^2}} = \frac{|2 + 0 + 0 + 4|}{\sqrt{1 + 4 + 1}} = \frac{6}{\sqrt{6}} = \sqrt{6}
$$

Vậy chiều cao của hình chóp A.BCD là $\sqrt{6}$.