giúp êm ạaa 2) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn $(AB

Question

giúp êm ạaa 2) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn $(AB<AC)$ nội tiếp đường tròn (O). Ba đường cao AD, BE,,CF của tam giác ABC cắt nhau tại H. Kẻ đường kính AK của đường tròn (O).,a) Chứng minh BH song song với CK và tứ giác BHCK là hình bình hành.,b) Gọi M, I lần lượt là trung điểm của BC, AH . Chứng minh IM song song với OA và $\frac{AB}{AK}=\frac{BD}{BH}.$,c) Gọi N là giao điểm của BO và AH. Đường thẳng qua I vuông góc với OI cắt AB và AC lần,lượt tại P và Q. Chứng minh $\widehat{OIH}=\widehat{OMH}.$ và các điểm O,I,P,N cùng thuộc một đường tròn.

Accepted Answer

a) Ta có $\widehat{BHC}=\widehat{BAC}$ (cùng bù với $\widehat{ABE})$
$\widehat{BAC}=\widehat{BKC}$ (cùng chắn cung BC)
suy ra $\widehat{BHC}=\widehat{BKC}$
Mà hai góc này ở vị trí so le trong nên BH song song với CK
Ta có $\widehat{BHC}=\widehat{BKC}$ (chứng minh trên)
$\widehat{CBH}=\widehat{ACK}$ (góc ngoài tam giác BHC bằng góc trong đồng vị $\widehat{ACK})$
suy ra Tam giác CBH = tam giác ACK (góc - cạnh - góc)
suy ra BH = CK
suy ra Tứ giác BHCK là hình bình hành (vì có cặp cạnh đối song song và bằng nhau)
b) Ta có $\widehat{BHC}=\widehat{BAC}$ (cùng bù với $\widehat{ABE})$
$\widehat{BAC}=\widehat{BKC}$ (cùng chắn cung BC)
suy ra $\widehat{BHC}=\widehat{BKC}$
Mà hai góc này ở vị trí so le trong nên BH song song với CK
Ta có $\widehat{BHC}=\widehat{BKC}$ (chứng minh trên)
$\widehat{CBH}=\widehat{ACK}$ (góc ngoài tam giác BHC bằng góc trong đồng vị $\widehat{ACK})$
suy ra Tam giác CBH = tam giác ACK (góc - cạnh - góc)
suy ra BH = CK
suy ra Tứ giác BHCK là hình bình hành (vì có cặp cạnh đối song song và bằng nhau)
c) Ta có $\widehat{OIH}=\widehat{OMH}$ (hai góc so le trong)
suy ra $\widehat{OIH}=\widehat{OMH}$
Ta có $\widehat{OIH}=\widehat{OMH}$ (chứng minh trên)
suy ra Các điểm O, I, P, N cùng thuộc một đường tròn (cùng chắn cung ON)