làm giúp mình a) Bác Việt có một tấm tôn hình chữ nhật, diện tích bằng $12~m^2.$ Bác muốn,cắt ra để hàn lại thành một chiếc thùng có dạng hình hộp chữ nhật không có nắp, có,đáy là hình vuông. Hỏi bác Việt có thể hàn được chiếc thùng như vậy có thể tích,lớn nhất bằng bao nhiêu? (Bỏ qua diện tích các vết cắt và mối hàn).

Question

Accepted Answer

Để giải bài toán này, chúng ta sẽ áp dụng phương pháp tìm giá trị lớn nhất của một biểu thức đại số bằng cách sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz.

Gọi cạnh đáy của chiếc thùng là $ x $ (m) và chiều cao của chiếc thùng là $ y $ (m). Diện tích đáy của chiếc thùng là $ x^2 $ và diện tích toàn phần của chiếc thùng (không có nắp) là:
$$ S = x^2 + 4xy $$

Theo đề bài, diện tích tấm tôn ban đầu là 12 m², tức là:
$$ x^2 + 4xy = 12 $$

Chúng ta cần tìm thể tích lớn nhất của chiếc thùng, tức là giá trị lớn nhất của biểu thức:
$$ V = x^2 y $$

Từ phương trình $ x^2 + 4xy = 12 $, ta có thể biểu diễn $ y $ theo $ x $:
$$ y = \frac{12 - x^2}{4x} $$

Thay vào biểu thức thể tích:
$$ V = x^2 \left( \frac{12 - x^2}{4x} \right) = \frac{x(12 - x^2)}{4} = \frac{12x - x^3}{4} $$

Để tìm giá trị lớn nhất của $ V $, ta sẽ sử dụng phương pháp khảo sát hàm số hoặc bất đẳng thức Cauchy-Schwarz. Ta sẽ sử dụng phương pháp khảo sát hàm số.

Xét hàm số $ f(x) = \frac{12x - x^3}{4} $. Để tìm cực đại của hàm số này, ta tính đạo hàm và tìm điểm cực đại:
$$ f'(x) = \frac{d}{dx} \left( \frac{12x - x^3}{4} \right) = \frac{12 - 3x^2}{4} $$

Đặt đạo hàm bằng 0 để tìm điểm cực đại:
$$ \frac{12 - 3x^2}{4} = 0 $$
$$ 12 - 3x^2 = 0 $$
$$ 3x^2 = 12 $$
$$ x^2 = 4 $$
$$ x = 2 \quad (\text{vì } x > 0) $$

Khi $ x = 2 $, ta có:
$$ y = \frac{12 - 2^2}{4 \cdot 2} = \frac{12 - 4}{8} = \frac{8}{8} = 1 $$

Thể tích của chiếc thùng khi đó là:
$$ V = x^2 y = 2^2 \cdot 1 = 4 $$

Vậy thể tích lớn nhất của chiếc thùng là 4 m³, đạt được khi cạnh đáy $ x = 2 $ m và chiều cao $ y = 1 $ m.

Đáp số: 4 m³.