Từ điểm A nằm ngoài (O; R) kẻ các tiếp tuyến AB và AC của (O) (B, C là các tiếp điểm), tia AO cắt BC ở K (vẽ hình) a) Chứng minh, OA vuông góc với BC tại K b) Kẻ đường kính BE của đường tròn (O), tỉa...

a) Chứng minh OA vuông góc với BC tại K: - Ta có AB và AC là các tiếp tuyến của đường tròn (O) nên OB vuông góc với AB và OC vuông góc với AC. - Do đó, tam giác OAB và OAC là các tam giác vuông tại B và C. - Vì AB = AC (tính chất tiếp tuyến) nên tam giác OAB và OAC là các tam giác cân tại O. - Từ đó, OK là đường cao đồng thời là đường phân giác của góc BOC. - Vậy OA vuông góc với BC tại K. b) Chứng minh tứ giác ABOC nội tiếp và góc AEO = góc AKD: - Ta có OB = OC (bán kính của đường tròn) và AB = AC (tính chất tiếp tuyến), do đó tam giác OAB và OAC là các tam giác cân tại O. - Vì OK là đường phân giác của góc BOC nên OK cũng là đường phân giác của góc BAC. - Từ đó, tứ giác ABOC nội tiếp (vì các đỉnh của nó nằm trên đường tròn và các góc nội tiếp cùng chắn cung BC). - Ta có góc AEO = góc ACO (góc nội tiếp cùng chắn cung AO) và góc ACO = góc AKD (góc giữa tiếp tuyến và dây cung). - Vậy góc AEO = góc AKD. c) Chứng minh IH = IC: - Ta có HC vuông góc với BE và AE cắt HC tại I. - Vì HC vuông góc với BE nên tam giác EHC là tam giác vuông tại H. - Ta có góc EHC = 90° và góc EHC = góc EBA (góc giữa tiếp tuyến và dây cung). - Từ đó, tam giác EHC và tam giác EBA là các tam giác vuông có chung góc EHC = góc EBA. - Vì vậy, tam giác EHC và tam giác EBA đồng dạng theo trường hợp góc - góc. - Do đó, tỉ lệ cạnh HC : EB = HC : EA. - Vì EB = EA (bán kính của đường tròn) nên HC = HC. - Vậy IH = IC.