Cho đường tròn tâm O đường kính AB , trên tia AB lấy điểm D nằm ngoài đoạn thẳng AB . Kẻ tiếp tuyến DC với đường tròn ( C là tiếp điểm ) . Gọi E là chân đường vuông kẻ từ A xuống đường thẳng CD và F là chân đường vuông góc kẻ từ D xuống đường AC . Chứng minh
a) Tứ giác EFDA nội tiếp
b) AF là phân giác EAD
c) Tam giác EFA đồng dạng tam giác BDC
d) Tam giác ACD và tam giác ABF có cùng diện tích

Question

Cho đường tròn tâm O đường kính AB , trên tia AB lấy điểm D nằm ngoài đoạn thẳng AB . Kẻ tiếp tuyến DC với đường tròn ( C là tiếp điểm ) . Gọi E là chân đường vuông kẻ từ A xuống đường thẳng CD và F là chân đường vuông góc kẻ từ D xuống đường AC . Chứng minh 
a) Tứ giác EFDA nội tiếp 
b) AF là phân giác EAD 
c) Tam giác EFA đồng dạng tam giác BDC 
d) Tam giác ACD và tam giác ABF có cùng diện tích

Accepted Answer

a) Ta có $\widehat{AED} = \widehat{AFD} = 90^\circ$ nên tứ giác EFDA nội tiếp (vì có hai góc kề cạnh chung cùng bằng 90°)
b) Ta có $\widehat{EAF} = \widehat{EDF}$ (góc nội tiếp cùng chắn cung EF) và $\widehat{ADF} = \widehat{AEF}$ (góc nội tiếp cùng chắn cung AF)
Mà $\widehat{EDF} + \widehat{ADF} = 90^\circ$ nên $\widehat{EAF} + \widehat{ADF} = 90^\circ$
Do đó $\widehat{EAF} = \widehat{DAF}$ nên AF là phân giác của góc EAD.
c) Ta có $\widehat{EAF} = \widehat{DAF}$ (AF là phân giác của góc EAD) và $\widehat{AFE} = \widehat{BDC} = 90^\circ$ nên tam giác EFA đồng dạng với tam giác BDC (góc-góc)
d) Ta có $\widehat{ACD} = \widehat{ABF}$ (hai góc nội tiếp cùng chắn cung AD) và $\widehat{CAD} = \widehat{FAB}$ (hai góc kề nhau có đỉnh chung là A) nên tam giác ACD đồng dạng với tam giác ABF (góc-góc)
Diện tích tam giác ACD = $\frac{1}{2} 	imes AC 	imes CD$ và diện tích tam giác ABF = $\frac{1}{2} 	imes AB 	imes BF$
Vì tam giác ACD đồng dạng với tam giác ABF nên $\frac{AC}{AB} = \frac{CD}{BF}$, suy ra $AC 	imes BF = AB 	imes CD$
Do đó diện tích tam giác ACD = diện tích tam giác ABF.

Cho đường tròn tâm O đường kính AB , trên tia AB lấy điểm D nằm ngoài đoạn thẳng AB . Kẻ tiếp tuyến DC với đường tròn ( C là tiếp điểm ) . Gọi E là chân đường vuông kẻ từ A xuống đường thẳng CD và F là...