Giải hộ mình câu này với các bạn Cho $\Delta ABC$,có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O;R). Các đường cao AD,BF,CE,của tam giác cắt nhau tại H .,a) Chứng minh rằng tứ giác AEHF nội tiếp một đường tròn.,b) Gọi K là giao điểm của AD với (O;R) $(K
e A),$ KE cắt đường tròn (O) tại điểm thứ,hai I , CI cắt EF tại N. Chứng minh $CE^2=CN.CI$ và đường tròn ngoại tiếp $\Delta HBC$,bằng (O;R).,c) Gọi M là trung điểm BC. Chứng minh rằng tâm đường tròn ngoại tiến $\Delta AEF$ nằm,trên đường thẳng MN.

Question

khongquen · Accepted Answer

{"userId":5380140,"userName":"Leo de Atur"}

Timi · Answer

a) Ta có $\widehat{AEH}=\widehat{AFH}=90^\circ$ nên tứ giác AEHF nội tiếp đường tròn (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

b) Ta có $\widehat{EIC}=\widehat{EAK}$ (cùng chắn cung EC) mà $\widehat{EAK}=\widehat{ECB}$ (góc nội tiếp cùng chắn cung BK) nên $\widehat{EIC}=\widehat{ECB}$

$\widehat{CEN}=\widehat{ICE}$ (đối đỉnh) nên $\Delta CEN$ đồng dạng với $\Delta ICE$ (góc-góc)

suy ra $\frac{CE}{CI}=\frac{CN}{CE}$ suy ra $CE^2=CN.CI$

Ta có $\widehat{BHC}=\widehat{BFC}=180^\circ-\widehat{A}$ nên $\Delta HBC$ nội tiếp đường tròn có đường kính BH (góc nội tiếp chắn nửa đường tròn)

Mà $\widehat{BOC}=2\widehat{A}=2(180^\circ-\widehat{BHC})=2\widehat{BHC}$ nên đường tròn ngoại tiếp $\Delta HBC$ có bán kính bằng R (góc ở tâm gấp đôi góc nội tiếp cùng chắn một cung)

c) Gọi O&#x27; là tâm đường tròn ngoại tiếp $\Delta AEF$. Ta có $\widehat{AO&#x27;E}=2\widehat{AFE}=2(90^\circ-\widehat{ABC})=2\widehat{ACB}$

Mà $\widehat{AO&#x27;C}=2\widehat{ACB}$ nên $\widehat{AO&#x27;E}=\widehat{AO&#x27;C}$ suy ra O&#x27;, E, C thẳng hàng.

Ta có $\widehat{O&#x27;EA}=\widehat{O&#x27;AE}=\widehat{ACB}$ nên O&#x27;E vuông góc với BC tại M (góc giữa tia phân giác và đường cao trong tam giác cân bằng 90°)

Mặt khác, ta có $\widehat{CEN}=\widehat{ECB}$ (chứng minh ở phần b) nên EN vuông góc với BC tại M.

Từ đó O&#x27;, E, N, M thẳng hàng suy ra O&#x27; thuộc MN.