Dbbshajajbzbz n nghiệm phương trình $\log_2x-\log_2(x^2-x-6)=3$ (kết quả làm tròn đến 1 chữ số thật,uận(1đ)

Question

Accepted Answer

Điều kiện xác định: $ x > 0 $ và $ x^2 - x - 6 > 0 $.

Phân tích $ x^2 - x - 6 $:
$$ x^2 - x - 6 = (x - 3)(x + 2) $$

Do đó, điều kiện $ x^2 - x - 6 > 0 $ tương đương:
$$ (x - 3)(x + 2) > 0 $$
$$ x < -2 \text{ hoặc } x > 3 $$

Kết hợp với điều kiện $ x > 0 $, ta có:
$$ x > 3 $$

Phương trình ban đầu:
$$ \log_2 x - \log_2 (x^2 - x - 6) = 3 $$

Áp dụng công thức tính chất của logarit:
$$ \log_2 \left( \frac{x}{x^2 - x - 6} \right) = 3 $$

Từ đây suy ra:
$$ \frac{x}{x^2 - x - 6} = 2^3 $$
$$ \frac{x}{x^2 - x - 6} = 8 $$

Nhân cả hai vế với $ x^2 - x - 6 $:
$$ x = 8(x^2 - x - 6) $$
$$ x = 8x^2 - 8x - 48 $$

Di chuyển tất cả các hạng tử về một vế:
$$ 8x^2 - 9x - 48 = 0 $$

Ta giải phương trình bậc hai này bằng công thức nghiệm:
$$ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} $$
$$ a = 8, b = -9, c = -48 $$

Tính delta:
$$ \Delta = (-9)^2 - 4 \cdot 8 \cdot (-48) $$
$$ \Delta = 81 + 1536 $$
$$ \Delta = 1617 $$

Các nghiệm của phương trình:
$$ x = \frac{9 \pm \sqrt{1617}}{16} $$

Lấy căn bậc hai của 1617:
$$ \sqrt{1617} \approx 40.2 $$

Do đó:
$$ x_1 = \frac{9 + 40.2}{16} \approx \frac{49.2}{16} \approx 3.075 $$
$$ x_2 = \frac{9 - 40.2}{16} \approx \frac{-31.2}{16} \approx -1.95 $$

Kiểm tra lại điều kiện $ x > 3 $:
- $ x_1 \approx 3.075 $ thỏa mãn điều kiện.
- $ x_2 \approx -1.95 $ không thỏa mãn điều kiện.

Vậy nghiệm của phương trình là:
$$ x \approx 3.1 $$