Giải chi tiết giúp mình với Bài 3. Cho parabol (P) có phương trình $y=x^2.$ Tìm hệ số góc của tiếp tuyến của parabol (P),a) Tại điểm $A(-2;4)$,b) Tại giao điểm của (P) với đường thẳng $y=-3x+2$,Bài 4. Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y=x^3$,a) Tại điểm $(-1;1);$,b) Tại điểm thuộc đồ thị hàm số và có hoành độ bằng 2 .

Question

Accepted Answer

Bài 3.
Để tìm hệ số góc của tiếp tuyến của parabol (P) tại các điểm đã cho, ta sẽ thực hiện các bước sau:

a) Tại điểm $A(-2;4)$

1. Tìm đạo hàm của hàm số:

   Hàm số của parabol (P) là $y = x^2$. Đạo hàm của hàm số này là:
   $$ y' = 2x $$

2. Tính giá trị đạo hàm tại điểm $A(-2;4)$:

   Thay $x = -2$ vào đạo hàm:
   $$ y'(-2) = 2 \times (-2) = -4 $$

   Vậy hệ số góc của tiếp tuyến của parabol (P) tại điểm $A(-2;4)$ là $-4$.

b) Tại giao điểm của (P) với đường thẳng $y = -3x + 2$

1. Tìm tọa độ giao điểm của (P) với đường thẳng:

   Để tìm giao điểm, ta giải hệ phương trình:
   $$ 
   \begin{cases} 
   y = x^2 \ 
   y = -3x + 2 
   \end{cases}
   $$

   Thay $y = x^2$ vào phương trình $y = -3x + 2$:
   $$ x^2 = -3x + 2 $$
   $$ x^2 + 3x - 2 = 0 $$

   Giải phương trình bậc hai này:
   $$ x = \frac{-3 \pm \sqrt{9 + 8}}{2} = \frac{-3 \pm \sqrt{17}}{2} $$

   Vậy hai giao điểm là:
   $$ x_1 = \frac{-3 + \sqrt{17}}{2}, \quad x_2 = \frac{-3 - \sqrt{17}}{2} $$

2. Tính giá trị đạo hàm tại các giao điểm:

   Ta đã biết đạo hàm của hàm số là $y' = 2x$.

   - Tại giao điểm thứ nhất ($x_1 = \frac{-3 + \sqrt{17}}{2}$):
     $$ y'\left(\frac{-3 + \sqrt{17}}{2}\right) = 2 \times \frac{-3 + \sqrt{17}}{2} = -3 + \sqrt{17} $$

   - Tại giao điểm thứ hai ($x_2 = \frac{-3 - \sqrt{17}}{2}$):
     $$ y'\left(\frac{-3 - \sqrt{17}}{2}\right) = 2 \times \frac{-3 - \sqrt{17}}{2} = -3 - \sqrt{17} $$

   Vậy hệ số góc của tiếp tuyến của parabol (P) tại các giao điểm của (P) với đường thẳng $y = -3x + 2$ là $-3 + \sqrt{17}$ và $-3 - \sqrt{17}$.

Kết luận:

a) Hệ số góc của tiếp tuyến của parabol (P) tại điểm $A(-2;4)$ là $-4$.

b) Hệ số góc của tiếp tuyến của parabol (P) tại các giao điểm của (P) với đường thẳng $y = -3x + 2$ là $-3 + \sqrt{17}$ và $-3 - \sqrt{17}$.

Bài 4.
Để viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y = x^3$ tại các điểm đã cho, ta thực hiện các bước sau:

Bước 1: Tìm đạo hàm của hàm số

Hàm số đã cho là $y = x^3$. Ta tính đạo hàm của hàm số này:
$$ y' = \frac{d}{dx}(x^3) = 3x^2 $$

Bước 2: Tính giá trị của đạo hàm tại các điểm

a) Tại điểm $(-1;1)$

- Tính giá trị của đạo hàm tại $x = -1$:
$$ y'(-1) = 3(-1)^2 = 3 $$

Phương trình tiếp tuyến tại điểm $(-1;1)$ có dạng:
$$ y - y_1 = y'(x_1)(x - x_1) $$
$$ y - 1 = 3(x + 1) $$
$$ y = 3x + 3 + 1 $$
$$ y = 3x + 4 $$

b) Tại điểm thuộc đồ thị hàm số và có hoành độ bằng 2

- Tính giá trị của đạo hàm tại $x = 2$:
$$ y'(2) = 3(2)^2 = 12 $$

Phương trình tiếp tuyến tại điểm $(2;8)$ (vì $y = 2^3 = 8$) có dạng:
$$ y - y_1 = y'(x_1)(x - x_1) $$
$$ y - 8 = 12(x - 2) $$
$$ y = 12x - 24 + 8 $$
$$ y = 12x - 16 $$

Kết luận

Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số $y = x^3$ là:

a) Tại điểm $(-1;1)$:
$$ y = 3x + 4 $$

b) Tại điểm có hoành độ bằng 2:
$$ y = 12x - 16 $$