Giúp ạ toán 11 kết nối tri thức Câu 49. Một vật chuyển động theo quy luật $s=\frac13t^3-\frac32t^2+9t,$ với t(giây) là khoảng thời gian tính từ lúc,vật bắt đầu chuyển động và s (mét) là quãng đường vật đi được trong thời gian đó. Quãng đường vật đi,được tính từ lúc bắt đầu chuyển động đến lúc vật đạt vận tốc nhỏ nhất bằng?

Question

Accepted Answer

Câu 49.
Để tìm quãng đường vật đi được tính từ lúc bắt đầu chuyển động đến lúc vật đạt vận tốc nhỏ nhất, chúng ta cần thực hiện các bước sau:

1. Tìm vận tốc của vật:
   Vận tốc của vật là đạo hàm của quãng đường theo thời gian $ t $. Do đó, ta có:
   $$
   v = \frac{ds}{dt} = \frac{d}{dt}\left(\frac{1}{3}t^3 - \frac{3}{2}t^2 + 9t\right)
   $$
   Tính đạo hàm:
   $$
   v = t^2 - 3t + 9
   $$

2. Tìm thời điểm vật đạt vận tốc nhỏ nhất:
   Để tìm thời điểm vật đạt vận tốc nhỏ nhất, ta cần tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số $ v(t) = t^2 - 3t + 9 $. Ta làm như sau:
   - Tìm đạo hàm của $ v(t) $:
     $$
     v'(t) = \frac{d}{dt}(t^2 - 3t + 9) = 2t - 3
     $$
   - Đặt đạo hàm bằng 0 để tìm điểm cực trị:
     $$
     2t - 3 = 0 \implies t = \frac{3}{2}
     $$
   - Kiểm tra tính chất của đạo hàm hai lần:
     $$
     v''(t) = \frac{d}{dt}(2t - 3) = 2 > 0
     $$
     Vì $ v''(t) > 0 $, nên $ t = \frac{3}{2} $ là điểm cực tiểu của hàm số $ v(t) $.

3. Tính quãng đường vật đi được từ lúc bắt đầu chuyển động đến thời điểm $ t = \frac{3}{2} $:
   Thay $ t = \frac{3}{2} $ vào phương trình quãng đường $ s(t) $:
   $$
   s\left(\frac{3}{2}\right) = \frac{1}{3}\left(\frac{3}{2}\right)^3 - \frac{3}{2}\left(\frac{3}{2}\right)^2 + 9\left(\frac{3}{2}\right)
   $$
   Tính từng phần:
   $$
   \left(\frac{3}{2}\right)^3 = \frac{27}{8}, \quad \left(\frac{3}{2}\right)^2 = \frac{9}{4}
   $$
   Thay vào:
   $$
   s\left(\frac{3}{2}\right) = \frac{1}{3} \cdot \frac{27}{8} - \frac{3}{2} \cdot \frac{9}{4} + 9 \cdot \frac{3}{2}
   $$
   $$
   = \frac{27}{24} - \frac{27}{8} + \frac{27}{2}
   $$
   Chuyển về cùng mẫu số:
   $$
   = \frac{27}{24} - \frac{81}{24} + \frac{324}{24}
   $$
   $$
   = \frac{27 - 81 + 324}{24} = \frac{270}{24} = \frac{45}{4} = 11.25 \text{ mét}
   $$

Vậy quãng đường vật đi được tính từ lúc bắt đầu chuyển động đến lúc vật đạt vận tốc nhỏ nhất là 11.25 mét.