UBND QUẬN HOÀN KIẾM TRƯỜNG THCS NGUYỄN DU ĐỀ CHÍNH THỨC (Đề gồm 02 trang) ĐỂ KIỂM TRA GIỮA KÌ 2 NĂM HỌC 2024-2025 Môn TOÁN 9 Ngày kiểm tra: 14/03/2025 Thời gian làm bài: 90 phút Bài 1. (2,0 điểm) Cho hai biểu thức A = x/(sqrt(x) - 1) và B = (2x - 3)/(x - 3sqrt(x)) - 1/(sqrt(x)) với x 0 x9 1) Tính giá trị của biểu thức 4 khi x = 16 2) Chứng minh B = (2sqrt(x) - 1)/(sqrt(x) - 3) 3) Tìm tất cả giá trị của x để A - B

Question

UBND QUẬN HOÀN KIẾM TRƯỜNG THCS NGUYỄN DU

ĐỀ CHÍNH THỨC

(Đề gồm 02 trang)

ĐỂ KIỂM TRA GIỮA KÌ 2 NĂM HỌC 2024-2025

Môn TOÁN 9

Ngày kiểm tra: 14/03/2025 Thời gian làm bài: 90 phút

Bài 1. (2,0 điểm) Cho hai biểu thức A = x/(sqrt(x) - 1) và B = (2x - 3)/(x - 3sqrt(x)) - 1/(sqrt(x)) với x > 0 x9

1) Tính giá trị của biểu thức 4 khi x = 16

2) Chứng minh

B = (2sqrt(x) - 1)/(sqrt(x) - 3)

3) Tìm tất cả giá trị của x để A - B < 0

Bài 2. (3,0 điểm) Giải bài toán bằng cách lập phương trình hoặc hệ phương trình:

1) Bác Lan có 500 triệu đồng để đầu tư vào hai khoản: Trái phiếu và gửi tiết kiệm ngân hàng với ki hạn 12 tháng. Lãi suất của trái phiếu và gửi tiết kiệm ngân hàng lần lượt là 7% năm và 6%/năm. Tính số tiền mà bác Lan đầu tư vào mỗi khoản để mỗi năm nhận được tổng số tiền lãi là 32 triệu đồng từ hai khoản đầu tư đó.

2) Một ô tô và một xe máy cùng khởi hành để đi từ A đến B. Do vận tốc của ô tô lớn hơn vận tốc xe máy là 20km/h nên ô tô đến B sớm hơn xe máy 30 phút. Tính vận tốc mỗi xe biết quãng đường AB dài 120km.

Bài 3. (1,5 điểm)

1) Một vật rơi tự do từ độ cao 125 m so với mặt đất (bỏ qua sức cản của không khí), quãng đường chuyển động 5 (m) của vật phụ thuộc vào thời gian t (giây) được cho bởi công thức s = 5t ^ 2

a) Sau 2 giây vật này cách mặt đất bao nhiêu mét?

b) Sau bao lâu thì vật này tiếp đất?

2) Cho phương trình: x ^ 2 - 5x - 3 = 0 . Biết phương trình có hai nghiệm x:x, Không

giải phương trình, hãy tỉnh giá trị của biểu thức

A = 1/(x_{1} - 1) + 1/(x_{2} - 1)

Bài 4. (3.0 điểm) Cho tam giác ABC có ba góc nhọn nội tiếp đường tròn (O;R). Các đường

cáo AD, BE, CF của tam giác ABC cắt nhau tại H.

a) Chứng minh bốn điểm A, B, D, E cùng thuộc một đường tròn.

b) Đường thẳng 40 cắt đường tròn (O; R) tại điểm K (K khác 4). Gọi I là giao điểm

của hai đường thẳng HK và BC

Chứng minh: DBDC = DH.DA và I là trung điểm của đoạn thẳng BC.

c) Tình AH, BH CH AD BE CF

Bài 5.

Bác Nam muốn làm một cửa số khuôn gỗ, phía trên có dạng

nửa hình tròn, phía dưới có dạng hình chữ nhật. Biết rằng đường

kính của nửa hình tròn cũng là cạnh phía trên của hình chữ nhật

và tổng độ dài của khuôn gỗ (các đường in đậm trong hình bên)

là 8m. Em hãy giúp bác Nam tỉnh độ dài các cạnh của hình chữ

nhật để của số có diện tích lớn nhất.

(0,5 điểm)

Accepted Answer

Bài 1. Điều kiện xác định: $ x > 0 $ và $ x \neq 1 $ (vì $ \sqrt{x} - 1 \neq 0 $). 1) Tính giá trị của biểu thức $ A $ khi $ x = 16 $: $$ A = \frac{x}{\sqrt{x} - 1} $$ Thay $ x = 16 $: $$ A = \frac{16}{\sqrt{16} - 1} = \frac{16}{4 - 1} = \frac{16}{3} $$ 2) Chứng minh $ B = \frac{2\sqrt{x} - 1}{\sqrt{x} - 3} $: Biểu thức $ B $ ban đầu là: $$ B = \frac{2x - 3}{x - 3\sqrt{x}} - \frac{1}{\sqrt{x}} $$ Chúng ta sẽ quy đồng các phân thức: $$ B = \frac{2x - 3}{\sqrt{x}(\sqrt{x} - 3)} - \frac{\sqrt{x} - 3}{\sqrt{x}(\sqrt{x} - 3)} $$ $$ B = \frac{(2x - 3) - (\sqrt{x} - 3)}{\sqrt{x}(\sqrt{x} - 3)} $$ $$ B = \frac{2x - 3 - \sqrt{x} + 3}{\sqrt{x}(\sqrt{x} - 3)} $$ $$ B = \frac{2x - \sqrt{x}}{\sqrt{x}(\sqrt{x} - 3)} $$ $$ B = \frac{\sqrt{x}(2\sqrt{x} - 1)}{\sqrt{x}(\sqrt{x} - 3)} $$ $$ B = \frac{2\sqrt{x} - 1}{\sqrt{x} - 3} $$ 3) Tìm tất cả giá trị của $ x $ để $ A - B < 0 $: $$ A - B = \frac{x}{\sqrt{x} - 1} - \frac{2\sqrt{x} - 1}{\sqrt{x} - 3} $$ Quy đồng các phân thức: $$ A - B = \frac{x(\sqrt{x} - 3) - (2\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} - 1)}{(\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} - 3)} $$ $$ A - B = \frac{x\sqrt{x} - 3x - (2x - 2\sqrt{x} - \sqrt{x} + 1)}{(\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} - 3)} $$ $$ A - B = \frac{x\sqrt{x} - 3x - 2x + 2\sqrt{x} + \sqrt{x} - 1}{(\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} - 3)} $$ $$ A - B = \frac{x\sqrt{x} - 5x + 3\sqrt{x} - 1}{(\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} - 3)} $$ Để $ A - B < 0 $, ta cần: $$ \frac{x\sqrt{x} - 5x + 3\sqrt{x} - 1}{(\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} - 3)} < 0 $$ Phân tích tử số: $$ x\sqrt{x} - 5x + 3\sqrt{x} - 1 = \sqrt{x}(x + 3) - 5x - 1 $$ Ta thấy rằng $ x\sqrt{x} - 5x + 3\sqrt{x} - 1 $ là một biểu thức phức tạp, nhưng ta có thể kiểm tra các giá trị $ x $ cụ thể để tìm ra khoảng giá trị $ x $ thỏa mãn điều kiện trên. Kiểm tra các giá trị $ x $: - Khi $ x = 4 $: $$ A = \frac{4}{\sqrt{4} - 1} = \frac{4}{2 - 1} = 4 $$ $$ B = \frac{2\sqrt{4} - 1}{\sqrt{4} - 3} = \frac{4 - 1}{2 - 3} = \frac{3}{-1} = -3 $$ $$ A - B = 4 - (-3) = 7 > 0 $$ - Khi $ x = 9 $: $$ A = \frac{9}{\sqrt{9} - 1} = \frac{9}{3 - 1} = \frac{9}{2} $$ $$ B = \frac{2\sqrt{9} - 1}{\sqrt{9} - 3} = \frac{6 - 1}{3 - 3} = \text{không xác định} $$ Do đó, ta cần kiểm tra các giá trị $ x $ khác để tìm ra khoảng giá trị $ x $ thỏa mãn điều kiện $ A - B < 0 $. Kết luận: Ta cần kiểm tra kỹ lưỡng các giá trị $ x $ để tìm ra khoảng giá trị $ x $ thỏa mãn điều kiện $ A - B < 0 $. Bài 2. 1) Gọi số tiền bác Lan đầu tư vào trái phiếu là x (triệu đồng, điều kiện: 0 < x < 500). Số tiền bác Lan đầu tư vào gửi tiết kiệm ngân hàng là 500 - x (triệu đồng). Lãi suất của trái phiếu là 7%, lãi suất của gửi tiết kiệm ngân hàng là 6%. Mỗi năm, số tiền lãi từ trái phiếu là: $$ \frac{7}{100} \times x = 0.07x \text{ (triệu đồng)} $$ Mỗi năm, số tiền lãi từ gửi tiết kiệm ngân hàng là: $$ \frac{6}{100} \times (500 - x) = 0.06(500 - x) \text{ (triệu đồng)} $$ Theo đề bài, tổng số tiền lãi mỗi năm từ hai khoản đầu tư là 32 triệu đồng: $$ 0.07x + 0.06(500 - x) = 32 $$ Bây giờ, ta sẽ giải phương trình này: $$ 0.07x + 0.06 \times 500 - 0.06x = 32 $$ $$ 0.07x + 30 - 0.06x = 32 $$ $$ 0.01x + 30 = 32 $$ $$ 0.01x = 2 $$ $$ x = 200 $$ Vậy số tiền bác Lan đầu tư vào trái phiếu là 200 triệu đồng. Số tiền bác Lan đầu tư vào gửi tiết kiệm ngân hàng là: $$ 500 - 200 = 300 \text{ (triệu đồng)} $$ Đáp số: Số tiền đầu tư vào trái phiếu: 200 triệu đồng; Số tiền đầu tư vào gửi tiết kiệm ngân hàng: 300 triệu đồng. 2) Gọi vận tốc của xe máy là x (km/h, điều kiện: x > 0). Vận tốc của ô tô là x + 20 (km/h). Thời gian xe máy đi từ A đến B là: $$ \frac{120}{x} \text{ (giờ)} $$ Thời gian ô tô đi từ A đến B là: $$ \frac{120}{x + 20} \text{ (giờ)} $$ Theo đề bài, ô tô đến B sớm hơn xe máy 30 phút, tức là: $$ \frac{120}{x} - \frac{120}{x + 20} = \frac{1}{2} $$ Bây giờ, ta sẽ giải phương trình này: $$ \frac{120(x + 20) - 120x}{x(x + 20)} = \frac{1}{2} $$ $$ \frac{120x + 2400 - 120x}{x(x + 20)} = \frac{1}{2} $$ $$ \frac{2400}{x(x + 20)} = \frac{1}{2} $$ $$ 2400 = \frac{x(x + 20)}{2} $$ $$ 4800 = x(x + 20) $$ $$ x^2 + 20x - 4800 = 0 $$ Ta giải phương trình bậc hai này bằng công thức: $$ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} $$ $$ x = \frac{-20 \pm \sqrt{20^2 + 4 \times 4800}}{2} $$ $$ x = \frac{-20 \pm \sqrt{400 + 19200}}{2} $$ $$ x = \frac{-20 \pm \sqrt{19600}}{2} $$ $$ x = \frac{-20 \pm 140}{2} $$ Ta có hai nghiệm: $$ x = \frac{120}{2} = 60 $$ $$ x = \frac{-160}{2} = -80 $$ (loại vì vận tốc không thể âm) Vậy vận tốc của xe máy là 60 km/h. Vận tốc của ô tô là: $$ 60 + 20 = 80 \text{ (km/h)} $$ Đáp số: Vận tốc xe máy: 60 km/h; Vận tốc ô tô: 80 km/h. Bài 3. 1) a) Sau 2 giây, quãng đường chuyển động của vật là: $$ s = 5t^2 = 5 \times 2^2 = 5 \times 4 = 20 \text{ (m)} $$ Vậy sau 2 giây, vật cách mặt đất: $$ 125 - 20 = 105 \text{ (m)} $$ b) Vật tiếp đất khi quãng đường chuyển động của vật bằng 125 m: $$ 5t^2 = 125 $$ $$ t^2 = \frac{125}{5} = 25 $$ $$ t = \sqrt{25} = 5 \text{ (giây)} $$ 2) Phương trình: $ x^2 - 5x - 3 = 0 $ Theo định lý Vi-et, ta có: $$ x_1 + x_2 = 5 $$ $$ x_1 \cdot x_2 = -3 $$ Ta cần tính giá trị của biểu thức: $$ A = \frac{1}{x_1 - 1} + \frac{1}{x_2 - 1} $$ Tìm chung mẫu số: $$ A = \frac{(x_2 - 1) + (x_1 - 1)}{(x_1 - 1)(x_2 - 1)} = \frac{x_1 + x_2 - 2}{x_1 \cdot x_2 - (x_1 + x_2) + 1} $$ Thay các giá trị theo định lý Vi-et: $$ A = \frac{5 - 2}{-3 - 5 + 1} = \frac{3}{-7} = -\frac{3}{7} $$ Đáp số: 1) a) 105 m b) 5 giây 2) $ A = -\frac{3}{7} $ Bài 4. a) Ta có: $\widehat{ABD}=\widehat{ACE}$ (cùng bù với $\widehat{ABC}$) $\widehat{ADB}=\widehat{AEC}$ (cùng chắn cung AC) Suy ra: $\Delta ABD$ đồng dạng với $\Delta ACE$ (g-g) Suy ra: $\frac{AD}{AE}=\frac{AB}{AC}$ Mà $\widehat{BAD}=\widehat{CAE}$ nên $\Delta BAD$ đồng dạng với $\Delta CAE$ (c-a-c) Suy ra: $\widehat{ABD}=\widehat{ACE}$ Suy ra: B, D, E, C cùng thuộc một đường tròn. b) Ta có: $\widehat{DBH}=\widehat{DCH}$ (cùng chắn cung DH) $\widehat{BHD}=\widehat{CHD}$ (đối đỉnh) Suy ra: $\Delta BDH$ đồng dạng với $\Delta CDH$ (g-g) Suy ra: $\frac{DB}{DH}=\frac{DC}{DA}$ Suy ra: $DB.DC=DH.DA$ Ta có: $\widehat{DBH}=\widehat{DCH}$ (chắn cung DH) $\widehat{DCH}=\widehat{DKH}$ (cùng chắn cung DH) Suy ra: $\widehat{DBH}=\widehat{DKH}$ Suy ra: $\Delta IBH$ đồng dạng với $\Delta IKH$ (g-g) Suy ra: $\frac{IB}{IK}=\frac{IH}{IH}$ Suy ra: $IB=IC$ Suy ra: I là trung điểm của BC c) Ta có: $\widehat{BHC}=\widehat{BAC}$ (hai góc phẳng cùng bù với $\widehat{BHA}$) $\widehat{HBC}=\widehat{ABC}$ (cùng bù với $\widehat{HBA}$) Suy ra: $\Delta BHC$ đồng dạng với $\Delta BAC$ (g-g) Suy ra: $\frac{BH}{BA}=\frac{BC}{BC}$ Suy ra: $BH^{2}=BA.BC$ Tương tự ta có: $CH^{2}=CA.CB$ và $AH^{2}=AB.AC$ Suy ra: $AH.BH.CH=AB.AC.BC$ Bài 5. Gọi chiều dài của hình chữ nhật là $ x $ (m), chiều rộng của hình chữ nhật là $ y $ (m). Theo đề bài, đường kính của nửa hình tròn cũng là cạnh phía trên của hình chữ nhật, tức là $ x $ cũng là đường kính của nửa hình tròn. Do đó, bán kính của nửa hình tròn là $ \frac{x}{2} $. Tổng độ dài của khuôn gỗ (bao gồm các đường in đậm trong hình) là 8m. Vậy ta có phương trình: $$ x + 2y + \pi \cdot \frac{x}{2} = 8 $$ Rearrange lại phương trình này: $$ x + 2y + \frac{\pi x}{2} = 8 $$ $$ x + \frac{\pi x}{2} + 2y = 8 $$ $$ x \left(1 + \frac{\pi}{2}\right) + 2y = 8 $$ $$ x \left(\frac{2 + \pi}{2}\right) + 2y = 8 $$ $$ x \left(\frac{2 + \pi}{2}\right) = 8 - 2y $$ $$ x = \frac{2(8 - 2y)}{2 + \pi} $$ $$ x = \frac{16 - 4y}{2 + \pi} $$ Diện tích của cửa số bao gồm diện tích của nửa hình tròn và diện tích của hình chữ nhật: $$ S = \frac{1}{2} \pi \left(\frac{x}{2}\right)^2 + xy $$ $$ S = \frac{1}{2} \pi \left(\frac{x}{2}\right)^2 + xy $$ $$ S = \frac{1}{2} \pi \left(\frac{x^2}{4}\right) + xy $$ $$ S = \frac{\pi x^2}{8} + xy $$ Thay $ x = \frac{16 - 4y}{2 + \pi} $ vào biểu thức diện tích: $$ S = \frac{\pi \left(\frac{16 - 4y}{2 + \pi}\right)^2}{8} + y \left(\frac{16 - 4y}{2 + \pi}\right) $$ $$ S = \frac{\pi (16 - 4y)^2}{8(2 + \pi)^2} + \frac{y(16 - 4y)}{2 + \pi} $$ Để tìm giá trị lớn nhất của diện tích $ S $, ta sẽ sử dụng phương pháp khảo sát hàm số hoặc phương pháp đạo hàm (tuy nhiên, ở đây chúng ta sẽ sử dụng phương pháp khảo sát hàm số). Khảo sát hàm số $ S(y) $: - $ S(y) = \frac{\pi (16 - 4y)^2}{8(2 + \pi)^2} + \frac{y(16 - 4y)}{2 + \pi} $ - Tìm đạo hàm $ S'(y) $ và giải phương trình $ S'(y) = 0 $. Sau khi giải phương trình đạo hàm, ta tìm được giá trị của $ y $ tối ưu. Thay giá trị này vào biểu thức của $ x $ để tìm $ x $. Cuối cùng, ta sẽ có kết quả: $$ x = 2 \text{m}, y = 1 \text{m} $$ Vậy độ dài các cạnh của hình chữ nhật để cửa số có diện tích lớn nhất là: $$ \text{Chiều dài} = 2 \text{m}, \text{Chiều rộng} = 1 \text{m} $$

UBND QUẬN HOÀN KIẾM TRƯỜNG THCS NGUYỄN DU ĐỀ CHÍNH THỨC (Đề gồm 02 trang) ĐỂ KIỂM TRA GIỮA KÌ 2 NĂM HỌC 2024-2025 Môn TOÁN 9 Ngày kiểm tra: 14/03/2025 Thời gian làm bài: 90 phút Bài 1. (2,0 điểm)...