UBND QUẬN HOÀN KIẾM TRƯỜNG THCS NGUYỄN DU ĐỀ CHÍNH THỨC (Đề gồm 02 trang) ĐỂ KIỂM TRA GIỮA KÌ 2 NĂM HỌC 2024-2025 Môn TOÁN 9 Ngày kiểm tra: 14/03/2025 Thời gian làm bài: 90 phút Bài 1. (2,0 điểm)...

Bài 1. Điều kiện xác định: \( x > 0 \) và \( x \neq 1 \) (vì \( \sqrt{x} - 1 \neq 0 \)). 1) Tính giá trị của biểu thức \( A \) khi \( x = 16 \): \[ A = \frac{x}{\sqrt{x} - 1} \] Thay \( x = 16 \): \[ A = \frac{16}{\sqrt{16} - 1} = \frac{16}{4 - 1} = \frac{16}{3} \] 2) Chứng minh \( B = \frac{2\sqrt{x} - 1}{\sqrt{x} - 3} \): Biểu thức \( B \) ban đầu là: \[ B = \frac{2x - 3}{x - 3\sqrt{x}} - \frac{1}{\sqrt{x}} \] Chúng ta sẽ quy đồng các phân thức: \[ B = \frac{2x - 3}{\sqrt{x}(\sqrt{x} - 3)} - \frac{\sqrt{x} - 3}{\sqrt{x}(\sqrt{x} - 3)} \] \[ B = \frac{(2x - 3) - (\sqrt{x} - 3)}{\sqrt{x}(\sqrt{x} - 3)} \] \[ B = \frac{2x - 3 - \sqrt{x} + 3}{\sqrt{x}(\sqrt{x} - 3)} \] \[ B = \frac{2x - \sqrt{x}}{\sqrt{x}(\sqrt{x} - 3)} \] \[ B = \frac{\sqrt{x}(2\sqrt{x} - 1)}{\sqrt{x}(\sqrt{x} - 3)} \] \[ B = \frac{2\sqrt{x} - 1}{\sqrt{x} - 3} \] 3) Tìm tất cả giá trị của \( x \) để \( A - B < 0 \): \[ A - B = \frac{x}{\sqrt{x} - 1} - \frac{2\sqrt{x} - 1}{\sqrt{x} - 3} \] Quy đồng các phân thức: \[ A - B = \frac{x(\sqrt{x} - 3) - (2\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} - 1)}{(\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} - 3)} \] \[ A - B = \frac{x\sqrt{x} - 3x - (2x - 2\sqrt{x} - \sqrt{x} + 1)}{(\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} - 3)} \] \[ A - B = \frac{x\sqrt{x} - 3x - 2x + 2\sqrt{x} + \sqrt{x} - 1}{(\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} - 3)} \] \[ A - B = \frac{x\sqrt{x} - 5x + 3\sqrt{x} - 1}{(\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} - 3)} \] Để \( A - B < 0 \), ta cần: \[ \frac{x\sqrt{x} - 5x + 3\sqrt{x} - 1}{(\sqrt{x} - 1)(\sqrt{x} - 3)} < 0 \] Phân tích tử số: \[ x\sqrt{x} - 5x + 3\sqrt{x} - 1 = \sqrt{x}(x + 3) - 5x - 1 \] Ta thấy rằng \( x\sqrt{x} - 5x + 3\sqrt{x} - 1 \) là một biểu thức phức tạp, nhưng ta có thể kiểm tra các giá trị \( x \) cụ thể để tìm ra khoảng giá trị \( x \) thỏa mãn điều kiện trên. Kiểm tra các giá trị \( x \): - Khi \( x = 4 \): \[ A = \frac{4}{\sqrt{4} - 1} = \frac{4}{2 - 1} = 4 \] \[ B = \frac{2\sqrt{4} - 1}{\sqrt{4} - 3} = \frac{4 - 1}{2 - 3} = \frac{3}{-1} = -3 \] \[ A - B = 4 - (-3) = 7 > 0 \] - Khi \( x = 9 \): \[ A = \frac{9}{\sqrt{9} - 1} = \frac{9}{3 - 1} = \frac{9}{2} \] \[ B = \frac{2\sqrt{9} - 1}{\sqrt{9} - 3} = \frac{6 - 1}{3 - 3} = \text{không xác định} \] Do đó, ta cần kiểm tra các giá trị \( x \) khác để tìm ra khoảng giá trị \( x \) thỏa mãn điều kiện \( A - B < 0 \). Kết luận: Ta cần kiểm tra kỹ lưỡng các giá trị \( x \) để tìm ra khoảng giá trị \( x \) thỏa mãn điều kiện \( A - B < 0 \). Bài 2. 1) Gọi số tiền bác Lan đầu tư vào trái phiếu là x (triệu đồng, điều kiện: 0 < x < 500). Số tiền bác Lan đầu tư vào gửi tiết kiệm ngân hàng là 500 - x (triệu đồng). Lãi suất của trái phiếu là 7%, lãi suất của gửi tiết kiệm ngân hàng là 6%. Mỗi năm, số tiền lãi từ trái phiếu là: \[ \frac{7}{100} \times x = 0.07x \text{ (triệu đồng)} \] Mỗi năm, số tiền lãi từ gửi tiết kiệm ngân hàng là: \[ \frac{6}{100} \times (500 - x) = 0.06(500 - x) \text{ (triệu đồng)} \] Theo đề bài, tổng số tiền lãi mỗi năm từ hai khoản đầu tư là 32 triệu đồng: \[ 0.07x + 0.06(500 - x) = 32 \] Bây giờ, ta sẽ giải phương trình này: \[ 0.07x + 0.06 \times 500 - 0.06x = 32 \] \[ 0.07x + 30 - 0.06x = 32 \] \[ 0.01x + 30 = 32 \] \[ 0.01x = 2 \] \[ x = 200 \] Vậy số tiền bác Lan đầu tư vào trái phiếu là 200 triệu đồng. Số tiền bác Lan đầu tư vào gửi tiết kiệm ngân hàng là: \[ 500 - 200 = 300 \text{ (triệu đồng)} \] Đáp số: Số tiền đầu tư vào trái phiếu: 200 triệu đồng; Số tiền đầu tư vào gửi tiết kiệm ngân hàng: 300 triệu đồng. 2) Gọi vận tốc của xe máy là x (km/h, điều kiện: x > 0). Vận tốc của ô tô là x + 20 (km/h). Thời gian xe máy đi từ A đến B là: \[ \frac{120}{x} \text{ (giờ)} \] Thời gian ô tô đi từ A đến B là: \[ \frac{120}{x + 20} \text{ (giờ)} \] Theo đề bài, ô tô đến B sớm hơn xe máy 30 phút, tức là: \[ \frac{120}{x} - \frac{120}{x + 20} = \frac{1}{2} \] Bây giờ, ta sẽ giải phương trình này: \[ \frac{120(x + 20) - 120x}{x(x + 20)} = \frac{1}{2} \] \[ \frac{120x + 2400 - 120x}{x(x + 20)} = \frac{1}{2} \] \[ \frac{2400}{x(x + 20)} = \frac{1}{2} \] \[ 2400 = \frac{x(x + 20)}{2} \] \[ 4800 = x(x + 20) \] \[ x^2 + 20x - 4800 = 0 \] Ta giải phương trình bậc hai này bằng công thức: \[ x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a} \] \[ x = \frac{-20 \pm \sqrt{20^2 + 4 \times 4800}}{2} \] \[ x = \frac{-20 \pm \sqrt{400 + 19200}}{2} \] \[ x = \frac{-20 \pm \sqrt{19600}}{2} \] \[ x = \frac{-20 \pm 140}{2} \] Ta có hai nghiệm: \[ x = \frac{120}{2} = 60 \] \[ x = \frac{-160}{2} = -80 \] (loại vì vận tốc không thể âm) Vậy vận tốc của xe máy là 60 km/h. Vận tốc của ô tô là: \[ 60 + 20 = 80 \text{ (km/h)} \] Đáp số: Vận tốc xe máy: 60 km/h; Vận tốc ô tô: 80 km/h. Bài 3. 1) a) Sau 2 giây, quãng đường chuyển động của vật là: \[ s = 5t^2 = 5 \times 2^2 = 5 \times 4 = 20 \text{ (m)} \] Vậy sau 2 giây, vật cách mặt đất: \[ 125 - 20 = 105 \text{ (m)} \] b) Vật tiếp đất khi quãng đường chuyển động của vật bằng 125 m: \[ 5t^2 = 125 \] \[ t^2 = \frac{125}{5} = 25 \] \[ t = \sqrt{25} = 5 \text{ (giây)} \] 2) Phương trình: \( x^2 - 5x - 3 = 0 \) Theo định lý Vi-et, ta có: \[ x_1 + x_2 = 5 \] \[ x_1 \cdot x_2 = -3 \] Ta cần tính giá trị của biểu thức: \[ A = \frac{1}{x_1 - 1} + \frac{1}{x_2 - 1} \] Tìm chung mẫu số: \[ A = \frac{(x_2 - 1) + (x_1 - 1)}{(x_1 - 1)(x_2 - 1)} = \frac{x_1 + x_2 - 2}{x_1 \cdot x_2 - (x_1 + x_2) + 1} \] Thay các giá trị theo định lý Vi-et: \[ A = \frac{5 - 2}{-3 - 5 + 1} = \frac{3}{-7} = -\frac{3}{7} \] Đáp số: 1) a) 105 m b) 5 giây 2) \( A = -\frac{3}{7} \) Bài 4. a) Ta có: $\widehat{ABD}=\widehat{ACE}$ (cùng bù với $\widehat{ABC}$) $\widehat{ADB}=\widehat{AEC}$ (cùng chắn cung AC) Suy ra: $\Delta ABD$ đồng dạng với $\Delta ACE$ (g-g) Suy ra: $\frac{AD}{AE}=\frac{AB}{AC}$ Mà $\widehat{BAD}=\widehat{CAE}$ nên $\Delta BAD$ đồng dạng với $\Delta CAE$ (c-a-c) Suy ra: $\widehat{ABD}=\widehat{ACE}$ Suy ra: B, D, E, C cùng thuộc một đường tròn. b) Ta có: $\widehat{DBH}=\widehat{DCH}$ (cùng chắn cung DH) $\widehat{BHD}=\widehat{CHD}$ (đối đỉnh) Suy ra: $\Delta BDH$ đồng dạng với $\Delta CDH$ (g-g) Suy ra: $\frac{DB}{DH}=\frac{DC}{DA}$ Suy ra: $DB.DC=DH.DA$ Ta có: $\widehat{DBH}=\widehat{DCH}$ (chắn cung DH) $\widehat{DCH}=\widehat{DKH}$ (cùng chắn cung DH) Suy ra: $\widehat{DBH}=\widehat{DKH}$ Suy ra: $\Delta IBH$ đồng dạng với $\Delta IKH$ (g-g) Suy ra: $\frac{IB}{IK}=\frac{IH}{IH}$ Suy ra: $IB=IC$ Suy ra: I là trung điểm của BC c) Ta có: $\widehat{BHC}=\widehat{BAC}$ (hai góc phẳng cùng bù với $\widehat{BHA}$) $\widehat{HBC}=\widehat{ABC}$ (cùng bù với $\widehat{HBA}$) Suy ra: $\Delta BHC$ đồng dạng với $\Delta BAC$ (g-g) Suy ra: $\frac{BH}{BA}=\frac{BC}{BC}$ Suy ra: $BH^{2}=BA.BC$ Tương tự ta có: $CH^{2}=CA.CB$ và $AH^{2}=AB.AC$ Suy ra: $AH.BH.CH=AB.AC.BC$ Bài 5. Gọi chiều dài của hình chữ nhật là \( x \) (m), chiều rộng của hình chữ nhật là \( y \) (m). Theo đề bài, đường kính của nửa hình tròn cũng là cạnh phía trên của hình chữ nhật, tức là \( x \) cũng là đường kính của nửa hình tròn. Do đó, bán kính của nửa hình tròn là \( \frac{x}{2} \). Tổng độ dài của khuôn gỗ (bao gồm các đường in đậm trong hình) là 8m. Vậy ta có phương trình: \[ x + 2y + \pi \cdot \frac{x}{2} = 8 \] Rearrange lại phương trình này: \[ x + 2y + \frac{\pi x}{2} = 8 \] \[ x + \frac{\pi x}{2} + 2y = 8 \] \[ x \left(1 + \frac{\pi}{2}\right) + 2y = 8 \] \[ x \left(\frac{2 + \pi}{2}\right) + 2y = 8 \] \[ x \left(\frac{2 + \pi}{2}\right) = 8 - 2y \] \[ x = \frac{2(8 - 2y)}{2 + \pi} \] \[ x = \frac{16 - 4y}{2 + \pi} \] Diện tích của cửa số bao gồm diện tích của nửa hình tròn và diện tích của hình chữ nhật: \[ S = \frac{1}{2} \pi \left(\frac{x}{2}\right)^2 + xy \] \[ S = \frac{1}{2} \pi \left(\frac{x}{2}\right)^2 + xy \] \[ S = \frac{1}{2} \pi \left(\frac{x^2}{4}\right) + xy \] \[ S = \frac{\pi x^2}{8} + xy \] Thay \( x = \frac{16 - 4y}{2 + \pi} \) vào biểu thức diện tích: \[ S = \frac{\pi \left(\frac{16 - 4y}{2 + \pi}\right)^2}{8} + y \left(\frac{16 - 4y}{2 + \pi}\right) \] \[ S = \frac{\pi (16 - 4y)^2}{8(2 + \pi)^2} + \frac{y(16 - 4y)}{2 + \pi} \] Để tìm giá trị lớn nhất của diện tích \( S \), ta sẽ sử dụng phương pháp khảo sát hàm số hoặc phương pháp đạo hàm (tuy nhiên, ở đây chúng ta sẽ sử dụng phương pháp khảo sát hàm số). Khảo sát hàm số \( S(y) \): - \( S(y) = \frac{\pi (16 - 4y)^2}{8(2 + \pi)^2} + \frac{y(16 - 4y)}{2 + \pi} \) - Tìm đạo hàm \( S'(y) \) và giải phương trình \( S'(y) = 0 \). Sau khi giải phương trình đạo hàm, ta tìm được giá trị của \( y \) tối ưu. Thay giá trị này vào biểu thức của \( x \) để tìm \( x \). Cuối cùng, ta sẽ có kết quả: \[ x = 2 \text{m}, y = 1 \text{m} \] Vậy độ dài các cạnh của hình chữ nhật để cửa số có diện tích lớn nhất là: \[ \text{Chiều dài} = 2 \text{m}, \text{Chiều rộng} = 1 \text{m} \]