I. PHẦN TRẮC NGHIỆM (3 điểm) Hãy chọn đáp án đúng Câu 1 (NB).Từ đẳng thức , ta có thể lập được tỉ lệ thức nào? A. . B. . C. . D. . Câu 2 (NB).Chỉ ra đáp án SAI. Từ tỷ lệ thức ta có tỷ lệ thức sau: A. ....

Câu 1 Để giải quyết câu hỏi này, chúng ta cần hiểu rõ về tính chất cơ bản của tỉ lệ thức. Tính chất cơ bản của tỉ lệ thức là nếu $$, thì $$. Bây giờ, chúng ta sẽ kiểm tra từng đáp án để xem liệu chúng có thỏa mãn tính chất cơ bản của tỉ lệ thức hay không. A. $$ - Kiểm tra: $$ B. $$ - Kiểm tra: $$ C. $$ - Kiểm tra: $$ D. $$ - Kiểm tra: $$ Như vậy, tất cả các đáp án đều thỏa mãn tính chất cơ bản của tỉ lệ thức. Do đó, tất cả các đáp án đều đúng. Đáp án: A, B, C, D Câu 2 Để chỉ ra đáp án sai, chúng ta cần kiểm tra từng tỷ lệ thức đã cho và xem liệu chúng có thoả mãn tính chất của tỷ lệ thức hay không. Tính chất của tỷ lệ thức là nếu $$, thì $$. Giả sử ta có tỷ lệ thức ban đầu là $$. Ta sẽ kiểm tra từng đáp án: A. $$ Kiểm tra: $$ (thoả mãn tính chất của tỷ lệ thức). B. $$ Kiểm tra: $$ (không thoả mãn tính chất của tỷ lệ thức). C. $$ Kiểm tra: $$ (không thoả mãn tính chất của tỷ lệ thức). D. $$ Kiểm tra: $$ (thoả mãn tính chất của tỷ lệ thức). Như vậy, đáp án sai là B và C vì chúng không thoả mãn tính chất của tỷ lệ thức. Đáp án: B và C. Câu 3 Để giải quyết câu hỏi này, chúng ta sẽ dựa vào tính chất cơ bản của tỉ lệ thức. Từ đẳng thức $$ (với $$), ta có thể viết được bao nhiêu tỉ lệ thức? Cụ thể, từ đẳng thức $$, ta có thể viết được các tỉ lệ thức sau: 1. $$ 2. $$ 3. $$ 4. $$ Như vậy, từ đẳng thức $$, ta có thể viết được 4 tỉ lệ thức. Do đó, đáp án đúng là: D. 4 tỉ lệ thức. Câu 4 Để giải quyết nhiệm vụ này, chúng ta sẽ tuân theo các quy tắc đã đưa ra và áp dụng kiến thức phù hợp với trình độ lớp 7. Dưới đây là ví dụ về cách giải một bài toán theo yêu cầu: Ví dụ: Hai tổ sản xuất cùng may một loại áo. Nếu tổ thứ nhất may trong 4 ngày, tổ thứ hai may trong 5 ngày thì cả hai tổ may được 2460 chiếc áo. Biết rằng trong mỗi ngày tổ thứ nhất may nhiều hơn tổ thứ hai 30 chiếc áo. Hỏi mỗi tổ may trong một ngày được bao nhiêu chiếc áo? Giải: Gọi số áo tổ thứ nhất may trong một ngày là $$ (chiếc áo, điều kiện: $$). Số áo tổ thứ hai may trong một ngày là $$ (chiếc áo). Tổng số áo mà cả hai tổ may trong 4 ngày và 5 ngày lần lượt là: - Số áo tổ thứ nhất may trong 4 ngày: $$ (chiếc áo). - Số áo tổ thứ hai may trong 5 ngày: $$ (chiếc áo). Theo đề bài, tổng số áo mà cả hai tổ may được là 2460 chiếc áo, nên ta có phương trình: $$ Mở ngoặc và thực hiện phép cộng: $$ $$ Di chuyển 150 sang phía bên phải: $$ $$ Chia cả hai vế cho 9: $$ $$ Vậy số áo tổ thứ nhất may trong một ngày là 290 chiếc áo. Số áo tổ thứ hai may trong một ngày là: $$ (chiếc áo). Đáp số: Tổ thứ nhất: 290 chiếc áo/ngày; Tổ thứ hai: 260 chiếc áo/ngày. Câu 5 Để giải quyết bài toán này, chúng ta cần hiểu rằng ba số $$, $$, và $$ tỉ lệ với 3, 5, và 4. Điều này có nghĩa là: $$ Chúng ta sẽ tìm dãy tỉ số của $$, $$, và $$. 1. Tìm giá trị của $$, $$, và $$ dựa trên tỉ lệ: Giả sử $$ (với $$ là một hằng số). Do đó: $$ $$ $$ 2. Tìm dãy tỉ số của $$, $$, và $$: Dãy tỉ số của $$, $$, và $$ sẽ là: $$ $$ $$ Do đó, dãy tỉ số của $$, $$, và $$ là: $$ Vậy đáp án đúng là: $$ Câu 6 Để giải quyết câu hỏi này, chúng ta cần kiểm tra từng khẳng định để xác định khẳng định nào là sai. Chúng ta sẽ làm theo từng bước một. Khẳng định A: A. $$ Đây là khẳng định sai vì phép cộng hai phân thức không thực hiện bằng cách cộng tử số và mẫu số riêng lẻ. Phép cộng đúng của hai phân thức là: $$ Khẳng định B: B. $$ Đây là khẳng định đúng vì phép nhân hai phân thức được thực hiện bằng cách nhân tử số với tử số và mẫu số với mẫu số: $$ Khẳng định C: C. $$ Đây là khẳng định sai vì phép trừ hai phân thức không thực hiện bằng cách trừ tử số và mẫu số riêng lẻ. Phép trừ đúng của hai phân thức là: $$ Khẳng định D: D. $$ Đây là khẳng định đúng vì phép chia hai phân thức được thực hiện bằng cách nhân phân thức thứ nhất với nghịch đảo của phân thức thứ hai: $$ Kết luận: Khẳng định sai là: A. $$ Vậy đáp án là: A. Câu 7 Để giải quyết câu hỏi này, chúng ta cần kiểm tra từng khẳng định một để xem liệu chúng có đúng hay không. Giả sử chúng ta có các khẳng định sau: A. $$ B. $$ C. $$ D. $$ Chúng ta sẽ kiểm tra từng khẳng định dựa trên thông tin đã cho. 1. Khẳng định A: $$ - Nếu $$ là đúng, thì $$ nhỏ hơn $$. 2. Khẳng định B: $$ - Nếu $$ là đúng, thì $$ lớn hơn $$. 3. Khẳng định C: $$ - Nếu $$ là đúng, thì $$ bằng $$. 4. Khẳng định D: $$ - Nếu $$ là đúng, thì $$ nhỏ hơn hoặc bằng $$. Vì không có thông tin cụ thể về giá trị của $$ và $$, chúng ta cần xem xét từng trường hợp: - Nếu $$, thì khẳng định A đúng, B sai, C sai, D đúng. - Nếu $$, thì khẳng định A sai, B đúng, C sai, D sai. - Nếu $$, thì khẳng định A sai, B sai, C đúng, D đúng. Do đó, chúng ta cần biết thêm thông tin về giá trị của $$ và $$ để xác định khẳng định nào đúng. Nếu không có thông tin cụ thể, chúng ta không thể kết luận chắc chắn. Tuy nhiên, nếu chúng ta giả sử rằng $$ và $$ có thể là bất kỳ giá trị nào, thì khẳng định D ($$) sẽ luôn đúng trong mọi trường hợp (vì nó bao gồm cả trường hợp $$ và $$). Vậy khẳng định đúng là: D. $$ Đáp án: D. $$ Câu 8 Để giải bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng tính chất của tam giác vuông và đường cao hạ từ đỉnh vuông góc xuống cạnh huyền. Giả sử ta có ba điểm thẳng hàng là $$, $$ và $$ sao cho $$ nằm giữa $$ và $$. Trên đường thẳng vuông góc với $$ tại $$, ta lấy điểm $$. Khi đó, ta có: - Tam giác $$ là tam giác vuông tại $$. - Tam giác $$ cũng là tam giác vuông tại $$. Theo tính chất của tam giác vuông, đường cao hạ từ đỉnh vuông góc xuống cạnh huyền sẽ tạo thành các tam giác nhỏ hơn có diện tích bằng nhau. Do đó, ta có: $$ $$ Từ đây, ta thấy rằng: $$ $$ Do đó, ta có: $$ $$ Như vậy, ta thấy rằng: $$ $$ Từ đây, ta có thể kết luận rằng: $$ $$ Vậy đáp án đúng là: $$ $$ Đáp án: D. $$ và $$ Đáp án: D. $$ và $$ Câu 9 Để giải quyết câu hỏi này, chúng ta cần biết giá trị của $$ và $$. Tuy nhiên, do không có thông tin cụ thể về giá trị của $$ và $$, chúng ta sẽ giả sử rằng $$ và $$ là các số thực dương và so sánh các biểu thức $$ và $$. Giả sử $$: 1. Ta có $$ vì $$ là số dương. 2. Do đó, $$ luôn lớn hơn $$. Vậy khẳng định đúng là: A. $$ Đáp án: A. $$ Câu 10 Để xác định ba độ dài nào dưới đây là độ dài ba cạnh của một tam giác, ta cần kiểm tra điều kiện tam giác. Điều kiện tam giác là tổng độ dài của hai cạnh bất kỳ phải lớn hơn độ dài của cạnh còn lại. Cụ thể, nếu ba độ dài là a, b và c, ta cần kiểm tra: 1. a + b > c 2. a + c > b 3. b + c > a Ta sẽ kiểm tra từng trường hợp: A. 3 cm, 4 cm, 5 cm - 3 + 4 > 5 (7 > 5) - 3 + 5 > 4 (8 > 4) - 4 + 5 > 3 (9 > 3) Tất cả các điều kiện đều thỏa mãn, nên ba độ dài này có thể là ba cạnh của một tam giác. B. 2 cm, 2 cm, 5 cm - 2 + 2 > 5 (4 > 5) - Điều kiện này không thỏa mãn. Vì có một điều kiện không thỏa mãn, nên ba độ dài này không thể là ba cạnh của một tam giác. D. 1 cm, 2 cm, 3 cm - 1 + 2 > 3 (3 > 3) - Điều kiện này không thỏa mãn. Vì có một điều kiện không thỏa mãn, nên ba độ dài này không thể là ba cạnh của một tam giác. Như vậy, chỉ có trường hợp A (3 cm, 4 cm, 5 cm) là ba độ dài có thể là ba cạnh của một tam giác. Đáp án: A. 3 cm, 4 cm, 5 cm Câu 11 Để giải quyết câu hỏi này, chúng ta cần hiểu rõ về các tính chất của đường trung tuyến và trọng tâm trong tam giác. 1. Đường trung tuyến: - Đường trung tuyến của một tam giác là đoạn thẳng nối đỉnh của tam giác với trung điểm của cạnh đối diện. - Trong tam giác ABC, nếu M là trung điểm của cạnh BC, thì AM là đường trung tuyến. 2. Trọng tâm: - Trọng tâm của một tam giác là điểm giao của ba đường trung tuyến. - Trọng tâm chia mỗi đường trung tuyến thành hai phần, trong đó phần gần đỉnh gấp đôi phần gần cạnh đối diện. 3. Tính chất trọng tâm: - Trọng tâm G chia mỗi đường trung tuyến thành tỉ lệ 2:1, nghĩa là AG:GM = 2:1. Vậy, nếu AM là đường trung tuyến và G là trọng tâm của tam giác ABC, thì: - AG sẽ bằng $$ của AM. - GM sẽ bằng $$ của AM. Do đó, đáp án đúng là: D. AG = $$AM và GM = $$AM Lập luận từng bước: - AM là đường trung tuyến của tam giác ABC, nối đỉnh A với trung điểm M của cạnh BC. - Trọng tâm G chia đường trung tuyến AM thành hai phần, AG và GM, với tỉ lệ 2:1. - Điều này có nghĩa là AG = $$AM và GM = $$AM. Vậy, đáp án đúng là: D. AG = $$AM và GM = $$AM Câu 12 Đáp án đúng là: C. Ba đường cao Lập luận từng bước: - Trực tâm của một tam giác là giao điểm của ba đường cao hạ từ mỗi đỉnh của tam giác đến đường thẳng chứa cạnh đối diện. - Vì tam giác ABC không là tam giác cân, nên ba đường cao của tam giác này sẽ cắt nhau tại một điểm duy nhất, đó chính là trực tâm của tam giác ABC. Do đó, trực tâm của tam giác ABC là giao điểm của ba đường cao. Câu 1 Để giải bài toán này, chúng ta sẽ sử dụng phương pháp tỷ lệ trực tiếp. Bước 1: Xác định tỷ lệ giữa số giờ làm việc và số áo may được. - Trong 5 giờ, công nhân may được 20 cái áo. Bước 2: Tính số áo may được trong 1 giờ. - Số áo may được trong 1 giờ là: $$ (cái áo). Bước 3: Tính số áo may được trong 12 giờ. - Số áo may được trong 12 giờ là: $$ (cái áo). Vậy, trong 12 giờ người đó may được 48 cái áo. Câu 2 Để giải bài toán này, chúng ta sẽ áp dụng phương pháp tỷ lệ thuận. Bước 1: Xác định mối liên hệ giữa số người thợ và thời gian hoàn thành công việc. - Số người thợ càng nhiều thì thời gian hoàn thành công việc càng ít. - Số người thợ càng ít thì thời gian hoàn thành công việc càng nhiều. Bước 2: Xác định giá trị ban đầu và giá trị mới. - Ban đầu có 30 người thợ và hoàn thành công việc trong 90 ngày. - Bây giờ có 15 người thợ, chúng ta cần tìm thời gian hoàn thành công việc. Bước 3: Áp dụng phương pháp tỷ lệ thuận. - Khi số người thợ giảm đi một nửa (từ 30 người xuống còn 15 người), thời gian hoàn thành công việc sẽ tăng gấp đôi. Bước 4: Tính toán. - Thời gian ban đầu là 90 ngày. - Khi số người thợ giảm đi một nửa, thời gian hoàn thành công việc sẽ tăng gấp đôi: $$ Vậy, 15 người thợ xây ngôi nhà đó hết 180 ngày. Đáp số: 180 ngày. Câu 3 Để giải quyết bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau: a) Chứng minh: Chúng ta cần chứng minh rằng $$ và $$ là các tam giác vuông tại $$. - Vì $$ là đường cao hạ từ đỉnh $$ xuống đáy $$, nên $$. Điều này có nghĩa là $$ và $$. - Do $$ nằm giữa $$ và $$, ta có $$. - Do $$ nằm trên đường thẳng $$ nhưng không thuộc đoạn $$, ta có $$. Vậy, $$ và $$ đều là các tam giác vuông tại $$. b) Chứng minh: Chúng ta cần chứng minh rằng $$. - Ta đã biết $$ và $$. - Cả hai tam giác đều có chung cạnh $$. - Cả hai tam giác đều có chung góc $$ (vì $$ và $$ đều nằm trên đường thẳng $$). Do đó, theo trường hợp đồng dạng tam giác có một cạnh chung và hai góc kề cạnh đó bằng nhau, ta có: $$ Kết luận: a) $$ và $$ là các tam giác vuông tại $$. b) $$. Câu 4 a) Ta có: - $$ là tam giác cân tại D (vì $$) - $$ (vì tam giác ABC vuông tại A) - Do đó, $$ - Xét $$, ta thấy $$ - Vì $$, nên $$ - Vậy $$ là tam giác cân tại C. b) Ta có: - M là trung điểm của CD, nên $$ - Đường thẳng qua D và song song với BC cắt đường thẳng BM tại E, do đó $$ (cặp góc đồng vị) - Xét $$ và $$, ta thấy: - $$ (M là trung điểm của CD) - $$ (cặp góc đồng vị) - $$ (cặp góc đối đỉnh) - Do đó, $$ (cặp góc - cạnh - góc) - Từ đó, ta có $$ và $$ - Vì $$, nên $$ (vì $$) c) Ta có: - G là giao điểm của AE và DM, nên $$ (vì AE là đường trung tuyến của $$) - Xét $$, ta thấy $$ và $$ là đường trung tuyến của $$ - Do đó, $$ - Vì $$, nên $$ - Từ đó, ta có $$ (vì $$ và $$) Đáp số: $$ Câu 5 Để chứng minh rằng $$, ta sẽ sử dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz. Bước 1: Áp dụng bất đẳng thức Cauchy-Schwarz cho hai cặp số $$: $$ Bước 2: Đơn giản hóa vế trái: $$ Bước 3: Thay vào bất đẳng thức: $$ Bước 4: Chuyển các hạng tử sang một vế: $$ $$ Vậy ta đã chứng minh được $$. Đáp số: $$