tính đạo hàm $c)~y=\ln\frac{1+x}{-x+1}.$

Question

Accepted Answer

Để tính đạo hàm của hàm số $ y = \ln \left( \frac{1 + x}{1 - x} \right) $, ta thực hiện các bước sau: Bước 1: Xác định điều kiện xác định (ĐKXĐ) - Ta cần đảm bảo rằng biểu thức trong dấu ln phải dương: $$ \frac{1 + x}{1 - x} > 0 $$ Phân tích dấu của phân thức: - Tích của hai số dương hoặc hai số âm là dương. - Do đó, ta xét các trường hợp: - $ 1 + x > 0 $ và $ 1 - x > 0 $ suy ra $ x > -1 $ và $ x < 1 $. Kết hợp lại ta có $ -1 < x < 1 $. - $ 1 + x < 0 $ và $ 1 - x < 0 $ suy ra $ x < -1 $ và $ x > 1 $. Điều này không thể xảy ra vì không có giá trị $ x $ thỏa mãn cả hai điều kiện cùng lúc. Vậy ĐKXĐ của hàm số là: $$ -1 < x < 1 $$ Bước 2: Áp dụng công thức đạo hàm của hàm số ln(u): $$ y' = \frac{u'}{u} $$ Trong đó, $ u = \frac{1 + x}{1 - x} $. Bước 3: Tính đạo hàm của $ u $: $$ u = \frac{1 + x}{1 - x} $$ Áp dụng công thức đạo hàm của thương hai hàm số: $$ u' = \frac{(1 + x)'(1 - x) - (1 + x)(1 - x)'}{(1 - x)^2} $$ $$ u' = \frac{1 \cdot (1 - x) - (1 + x) \cdot (-1)}{(1 - x)^2} $$ $$ u' = \frac{1 - x + 1 + x}{(1 - x)^2} $$ $$ u' = \frac{2}{(1 - x)^2} $$ Bước 4: Thay $ u $ và $ u' $ vào công thức đạo hàm của ln(u): $$ y' = \frac{\frac{2}{(1 - x)^2}}{\frac{1 + x}{1 - x}} $$ $$ y' = \frac{2}{(1 - x)^2} \cdot \frac{1 - x}{1 + x} $$ $$ y' = \frac{2}{(1 - x)(1 + x)} $$ $$ y' = \frac{2}{1 - x^2} $$ Vậy đạo hàm của hàm số $ y = \ln \left( \frac{1 + x}{1 - x} \right) $ là: $$ y' = \frac{2}{1 - x^2} $$