làm giúp mình câu 2 với đèn hàng phán trăm)?,2/8,Câu 2. (1,0 điểm),a) Tính đạo hàm của hàm số: $y=(x+1)\sqrt{x^2+1}$,b) Cho hàm số $y=x^3-3x^2+1.$ Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm,$M(x_0;y_0),$ biết $y^{\prime\prime}(x_0)=0.$,Câu 3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình chữ nhật với $SA=AB=a,~AD=2a$ và,$SA\bot(ABCD)$,a) Chứng minh: $(SAB)\bot(SBC).$,b) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SD.,c) Tính thể tích khối chóp S.ABCD.,----- HẾT -----,ĐỀ SỐ 2

Question

Accepted Answer

Câu 2.
a) Tính đạo hàm của hàm số: $y=(x+1)\sqrt{x^2+1}$
Áp dụng công thức đạo hàm của tích hai hàm số:
$$ y' = (x+1)' \cdot \sqrt{x^2+1} + (x+1) \cdot (\sqrt{x^2+1})' $$
Tính đạo hàm từng thành phần:
$$ (x+1)' = 1 $$
$$ (\sqrt{x^2+1})' = \frac{1}{2\sqrt{x^2+1}} \cdot (x^2+1)' = \frac{1}{2\sqrt{x^2+1}} \cdot 2x = \frac{x}{\sqrt{x^2+1}} $$
Thay vào công thức:
$$ y' = 1 \cdot \sqrt{x^2+1} + (x+1) \cdot \frac{x}{\sqrt{x^2+1}} $$
$$ y' = \sqrt{x^2+1} + \frac{x(x+1)}{\sqrt{x^2+1}} $$
$$ y' = \frac{(x^2+1) + x(x+1)}{\sqrt{x^2+1}} $$
$$ y' = \frac{x^2 + 1 + x^2 + x}{\sqrt{x^2+1}} $$
$$ y' = \frac{2x^2 + x + 1}{\sqrt{x^2+1}} $$

b) Cho hàm số $y=x^3-3x^2+1.$ Viết phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm $M(x_0;y_0),$ biết $y^{\prime\prime}(x_0)=0.$

Bước 1: Tính đạo hàm của hàm số:
$$ y' = (x^3 - 3x^2 + 1)' = 3x^2 - 6x $$

Bước 2: Tính đạo hàm bậc hai:
$$ y'' = (3x^2 - 6x)' = 6x - 6 $$

Bước 3: Tìm giá trị của $x_0$ sao cho $y''(x_0) = 0$:
$$ 6x_0 - 6 = 0 $$
$$ 6x_0 = 6 $$
$$ x_0 = 1 $$

Bước 4: Tìm giá trị của $y_0$ tại $x_0 = 1$:
$$ y_0 = 1^3 - 3 \cdot 1^2 + 1 = 1 - 3 + 1 = -1 $$

Bước 5: Tính giá trị của $y'$ tại $x_0 = 1$:
$$ y'(1) = 3 \cdot 1^2 - 6 \cdot 1 = 3 - 6 = -3 $$

Bước 6: Viết phương trình tiếp tuyến tại điểm $(1, -1)$ với hệ số góc $-3$:
$$ y - (-1) = -3(x - 1) $$
$$ y + 1 = -3x + 3 $$
$$ y = -3x + 2 $$

Đáp số:
a) Đạo hàm của hàm số $y=(x+1)\sqrt{x^2+1}$ là $y' = \frac{2x^2 + x + 1}{\sqrt{x^2+1}}$.
b) Phương trình tiếp tuyến của đồ thị hàm số tại điểm $M(1; -1)$ là $y = -3x + 2$.

Câu 3.
a) Chứng minh: $(SAB)\bot(SBC).$

- Ta có $SA\bot(ABCD)$ nên $SA\bot BC.$
- Vì ABCD là hình chữ nhật nên $AB\bot BC.$
- Từ đó suy ra $BC\bot(SAB).$
- Vậy $(SAB)\bot(SBC).$

b) Tính khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SD.

- Ta có $AB\subset(SAB)$ và $SD\cap(SAB)=S.$
- Kẻ đường cao $SH\perp AD$ tại H. Ta có $SH\perp(ABCD).$
- Kẻ đường cao $HK\perp AB$ tại K. Ta có $HK\perp(SAB).$
- Khi đó khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SD là khoảng cách từ điểm D đến mặt phẳng (SAB), tức là độ dài đoạn thẳng HK.
- Ta có $SH=AB=a$ và $AD=2a.$
- Diện tích tam giác SAD là $\frac{1}{2}\times SA\times AD=\frac{1}{2}\times a\times 2a=a^2.$
- Diện tích tam giác SAB là $\frac{1}{2}\times SA\times AB=\frac{1}{2}\times a\times a=\frac{a^2}{2}.$
- Diện tích tam giác SAB là $\frac{1}{2}\times AB\times HK=\frac{1}{2}\times a\times HK.$
- Từ đó suy ra $HK=\frac{2\times \frac{a^2}{2}}{a}=a.$
- Vậy khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SD là $a.$

c) Tính thể tích khối chóp S.ABCD.

- Thể tích khối chóp S.ABCD là $\frac{1}{3}\times SA\times S_{ABCD}=\frac{1}{3}\times a\times 2a\times a=\frac{2a^3}{3}.$

Đáp số:
a) $(SAB)\bot(SBC).$
b) Khoảng cách giữa hai đường thẳng AB và SD là $a.$
c) Thể tích khối chóp S.ABCD là $\frac{2a^3}{3}.$