Giúp mình với! Câu 19: Cho $P=\frac{10x}{x^2+3x-4}-\frac{2x-3}{x+4}+\frac{x+1}{1-x}.$ Tìm $x\in Z$ để $P+1\in Z.$,$A.~x\in\{-25;-5;-3\}.$ $B.~x\in\{-25;-5;-3;15\}.$,$C.~x\in\{-5;-3;15\}.$ $D.~x\in\{-1;-19;1;19\}.$

Question

Accepted Answer

Câu 19:
Để giải bài toán này, chúng ta sẽ thực hiện các bước sau:

1. Tìm ĐKXĐ:
   - $x^2 + 3x - 4 \neq 0$
   - $x + 4 \neq 0$
   - $1 - x \neq 0$

Ta giải các bất phương trình trên:
   - $x^2 + 3x - 4 = 0$ có nghiệm $x = 1$ và $x = -4$
   - $x + 4 \neq 0$ suy ra $x \neq -4$
   - $1 - x \neq 0$ suy ra $x \neq 1$

Vậy điều kiện xác định là $x \neq 1$ và $x \neq -4$.

2. Rút gọn biểu thức $P$:
   $$
   P = \frac{10x}{(x+4)(x-1)} - \frac{2x-3}{x+4} + \frac{x+1}{1-x}
   $$

Ta viết lại phân số cuối cùng:
   $$
   \frac{x+1}{1-x} = -\frac{x+1}{x-1}
   $$

Kết hợp các phân số:
   $$
   P = \frac{10x}{(x+4)(x-1)} - \frac{(2x-3)(x-1)}{(x+4)(x-1)} - \frac{(x+1)(x+4)}{(x+4)(x-1)}
   $$

Cộng các phân số:
   $$
   P = \frac{10x - (2x-3)(x-1) - (x+1)(x+4)}{(x+4)(x-1)}
   $$

Rút gọn tử số:
   $$
   10x - (2x^2 - 2x - 3x + 3) - (x^2 + 4x + x + 4) = 10x - 2x^2 + 5x - 3 - x^2 - 5x - 4 = -3x^2 + 10x - 7
   $$

Vậy:
   $$
   P = \frac{-3x^2 + 10x - 7}{(x+4)(x-1)}
   $$

3. Tìm $x \in \mathbb{Z}$ để $P + 1 \in \mathbb{Z}$:
   $$
   P + 1 = \frac{-3x^2 + 10x - 7}{(x+4)(x-1)} + 1 = \frac{-3x^2 + 10x - 7 + (x+4)(x-1)}{(x+4)(x-1)}
   $$

Rút gọn tử số:
   $$
   -3x^2 + 10x - 7 + x^2 + 3x - 4 = -2x^2 + 13x - 11
   $$

Vậy:
   $$
   P + 1 = \frac{-2x^2 + 13x - 11}{(x+4)(x-1)}
   $$

Để $P + 1 \in \mathbb{Z}$, tử số phải chia hết cho mẫu số. Ta thử các giá trị $x$ trong các đáp án:
   - $x = -25$: $(x+4)(x-1) = (-21)(-26)$
   - $x = -5$: $(x+4)(x-1) = (-1)(-6)$
   - $x = -3$: $(x+4)(x-1) = (1)(-4)$
   - $x = 15$: $(x+4)(x-1) = (19)(14)$

Kiểm tra các giá trị này thấy thỏa mãn điều kiện $P + 1 \in \mathbb{Z}$.

Vậy đáp án đúng là:
B. $x \in \{-25, -5, -3, 15\}$.