kkkkkkkkkkk Câu 8. Cho hàm số $f(x)$ liên tục trên $\mathbb R.$ Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường,$y=f(x),~y=0,~x=-1$ và $x=4$ (như hình vẽ bên). Mệnh đề nào dưới đây đúng?,,$A.~S=\int^1_{-1}f(x)dx-\int^4_1f(x)dx.$ $B.~S=\int^1_{-1}f(x)dx+\int^4_1f(x)dx.$,$C.~S=-\int^1_{-1}f(x)dx-\int^4_1f(x)dx.$ $D.~S=-\int^1_{-1}f(x)dx+\int^4_1f(x)dx.$,Câu 9. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=x^3-x$ và đồ thị hàm số,$y=x-x^2.$,$A.~\frac{37}{12}$ $B.~\frac94$ $C.~\frac{81}{12}$ D. 13

Question

kkkkkkkkkkk Câu 8. Cho hàm số $f(x)$ liên tục trên $\mathbb R.$ Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường,$y=f(x),~y=0,~x=-1$ và $x=4$ (như hình vẽ bên). Mệnh đề nào dưới đây đúng?,<img src=https://minio.ftech.ai/cvdata/fqa/prod/public/illustration_images/d3f0bab7cc8b40848596bb00951bb5c2.jpg />,$A.~S=\int^1_{-1}f(x)dx-\int^4_1f(x)dx.$ $B.~S=\int^1_{-1}f(x)dx+\int^4_1f(x)dx.$,$C.~S=-\int^1_{-1}f(x)dx-\int^4_1f(x)dx.$ $D.~S=-\int^1_{-1}f(x)dx+\int^4_1f(x)dx.$,Câu 9. Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=x^3-x$ và đồ thị hàm số,$y=x-x^2.$,$A.~\frac{37}{12}$ $B.~\frac94$ $C.~\frac{81}{12}$ D. 13

Accepted Answer

Câu 8.
Để tính diện tích S của hình phẳng giới hạn bởi các đường $ y = f(x) $, $ y = 0 $, $ x = -1 $ và $ x = 4 $, ta cần chia hình phẳng thành hai phần riêng biệt dựa vào các đoạn trên trục x.

1. Diện tích phần hình phẳng từ $ x = -1 $ đến $ x = 1 $:
   - Trên đoạn này, hàm số $ f(x) $ nằm phía dưới trục x, do đó tích phân của $ f(x) $ sẽ là một giá trị âm.
   - Diện tích phần này sẽ là giá trị tuyệt đối của tích phân từ $ x = -1 $ đến $ x = 1 $:
     $$
     A_1 = \left| \int_{-1}^{1} f(x) \, dx \right|
     $$

2. Diện tích phần hình phẳng từ $ x = 1 $ đến $ x = 4 $:
   - Trên đoạn này, hàm số $ f(x) $ nằm phía trên trục x, do đó tích phân của $ f(x) $ sẽ là một giá trị dương.
   - Diện tích phần này sẽ là tích phân từ $ x = 1 $ đến $ x = 4 $:
     $$
     A_2 = \int_{1}^{4} f(x) \, dx
     $$

Tổng diện tích S của hình phẳng sẽ là tổng của diện tích hai phần:
$$
S = A_1 + A_2 = \left| \int_{-1}^{1} f(x) \, dx \right| + \int_{1}^{4} f(x) \, dx
$$

Do tích phân từ $ x = -1 $ đến $ x = 1 $ là một giá trị âm, ta có thể viết lại như sau:
$$
S = -\int_{-1}^{1} f(x) \, dx + \int_{1}^{4} f(x) \, dx
$$

Vậy mệnh đề đúng là:
D. $ S = -\int_{-1}^{1} f(x) \, dx + \int_{1}^{4} f(x) \, dx $

Đáp án: D. $ S = -\int_{-1}^{1} f(x) \, dx + \int_{1}^{4} f(x) \, dx $

Câu 9.
Để tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=x^3-x$ và đồ thị hàm số $y=x-x^2$, ta thực hiện các bước sau:

Bước 1: Tìm giao điểm của hai đồ thị:
- Đặt $x^3 - x = x - x^2$
- Sắp xếp lại phương trình: $x^3 + x^2 - 2x = 0$
- Factorize phương trình: $x(x^2 + x - 2) = 0$
- Tiếp tục factorize: $x(x+2)(x-1) = 0$
- Giải phương trình: $x = 0$, $x = -2$, $x = 1$

Bước 2: Xác định khoảng tích phân:
- Các giao điểm là $x = -2$, $x = 0$, và $x = 1$. Ta sẽ tính diện tích giữa các khoảng này.

Bước 3: Tính diện tích hình phẳng:
- Diện tích hình phẳng giới hạn bởi hai đồ thị từ $x = -2$ đến $x = 0$ và từ $x = 0$ đến $x = 1$ là:
$$ A = \int_{-2}^{0} [(x - x^2) - (x^3 - x)] \, dx + \int_{0}^{1} [(x - x^2) - (x^3 - x)] \, dx $$

Bước 4: Tính từng tích phân:
- Tính $\int_{-2}^{0} [(x - x^2) - (x^3 - x)] \, dx$:
$$ \int_{-2}^{0} (x - x^2 - x^3 + x) \, dx = \int_{-2}^{0} (2x - x^2 - x^3) \, dx $$
$$ = \left[ x^2 - \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} \right]_{-2}^{0} $$
$$ = \left( 0 - 0 - 0 \right) - \left( 4 - \frac{-8}{3} - \frac{16}{4} \right) $$
$$ = 0 - \left( 4 + \frac{8}{3} - 4 \right) $$
$$ = - \frac{8}{3} $$

- Tính $\int_{0}^{1} [(x - x^2) - (x^3 - x)] \, dx$:
$$ \int_{0}^{1} (x - x^2 - x^3 + x) \, dx = \int_{0}^{1} (2x - x^2 - x^3) \, dx $$
$$ = \left[ x^2 - \frac{x^3}{3} - \frac{x^4}{4} \right]_{0}^{1} $$
$$ = \left( 1 - \frac{1}{3} - \frac{1}{4} \right) - \left( 0 - 0 - 0 \right) $$
$$ = 1 - \frac{1}{3} - \frac{1}{4} $$
$$ = \frac{12}{12} - \frac{4}{12} - \frac{3}{12} $$
$$ = \frac{5}{12} $$

Bước 5: Cộng các diện tích lại:
$$ A = - \frac{8}{3} + \frac{5}{12} $$
$$ = - \frac{32}{12} + \frac{5}{12} $$
$$ = - \frac{27}{12} $$
$$ = \frac{27}{12} $$
$$ = \frac{9}{4} $$

Vậy diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $y=x^3-x$ và đồ thị hàm số $y=x-x^2$ là $\frac{9}{4}$.

Đáp án đúng là: B. $\frac{9}{4}$